Solutions of Maxwell equations in vacuum for St?ckel spaces of type (1.1).pdf Введение В работах [1-4] осуществлена классификация штеккелевых пространств, в которых допускает полное разделение переменных уравнение Гамильтона - Якоби для заряженной пробной частицы, движущейся во внешнем электромагнитном поле. Под классификацией понимается перечисление всех классов эквивалентности для метрик и физических полей относительно группы допустимых (т.е. не нарушающих условия полного разделения переменных) преобразований координат и потенциалов. Получены все неэквивалентные наборы электромагнитных потенциалов внешнего электромагнитного поля и метрик штеккелевых пространств типа . Теория штеккелевых пространств построена в [5-7]. В работе [8] теория была обобщена на случай комплексных привилегированных систем координат. Отличительной особенностью штеккелева пространства является существование в нём полного набора геометрических объектов - взаимно коммутирующих и удовлетворяющих некоторым дополнительным условиям векторных и тензорных полей Киллинга, что позволяет осуществить полное разделение переменных в классических и квантовых уравнениях движения пробных частиц. Она даёт возможность использовать полученные результаты для осуществления аналогичной классификации для уравнения Клейна - Гордона - Фока и Дирака - Фока [9, 10]. Отметим, что метрики штеккелевых пространств типа (1.1) исследовались в ряде работ. Так, ещё в работах [11, 12] были проклассифицированы все системы координат плоского пространства-времени и электромагнитные поля, допускающие полное разделение переменных типа (1.1) в уравнениях Гамильтона - Якоби и Клейна - Гордона - Фока. Авторы работ [13, 14] проклассифицировали все вакуумные и электровакуумные решения уравнений Эйнштейна - Максвелла, полученные при условии полного разделения переменных в уравнении Гамильтона - Якоби. В ряде задач теории гравитации все материальные поля можно рассматривать как внешние на фоне сильного гравитационного поля. В частности, имеет физический смысл задача нахождения решений вакуумных уравнений Максвелла. В [1] эта задача решена для пространств типа (1.0). В настоящей работе рассматриваются вакуумные уравнения Максвелла в штеккелевых пространствах типа (1.1), в которых допускает полное разделение переменных уравнение Гамильтона - Якоби для заряженной пробной частицы. Использованы электромагнитные потенциалы и метрики, полученные в [4]. 1. Уравнение Гамильтона - Якоби Приведём необходимые в дальнейшем сведения и результаты, полученные в работе [4]. Рассмотрим пространство-время с координатной системой и метрическим тензором, имеющим компоненты , . Символы Кронеккера обозначим , (постоянные разделения), величины , могут принимать значения Функции, зависящие только от переменной , выразим малыми буквами с обязательным одиночным правым (нижним) индексом , малыми буквами со значком « » обозначены постоянные. По повторяющимся верхним и нижним индексам ведётся суммирование в установленных пределах изменения индексов. Если в пространстве допускает полное разделение переменных уравнение Гамильтона - Якоби (1) то оно называется штеккелевым, и существует привилегированная система координат, в которой полный интеграл можно представить как (2) Штеккелево пространство типа (1.1) допускает полный набор, состоящий из изотропного векторного поля Киллинга и трёх (вместе с метрическим тензором) тензорных полей Киллинга . Векторное поле имеет вид - игнорируемая переменная, и . Так как , (1) является уравнением параболического типа и среди пространств рассматриваемого типа имеются плоско-волновые. Неигнорируемые переменные будем снабжать индексами и При этом является изотропной переменной. Тензорные поля Киллинга в привилегированной системе координат можно записать в виде (3) где . В этой же системе координат компоненты метрического тензора и электромагнитного потенциала можно привести к виду (4) (5) где Функции , входящие в выражения (4), (5), должны удовлетворять функциональному уравнению (6) которое сводится к системе алгебраических уравнений. Решение этой системы позволяет найти все метрики и электромагнитные потенциалы, допускающие полное разделение переменных типа (1.1) в уравнении (1). Введём символы , такие, что Тогда компоненты метрического тензора и электромагнитного потенциала, удовлетворяющие уравнению (6), можно представить так: (7) Входящие в полный интеграл уравнения Гамильтона - Якоби (2) функции имеют вид 2. Решения вакуумного уравнения Максвелла При изучении ряда эффектов в присутствии гравитационного поля иные физические поля в силу незначительности их вклада в формирование пространственно-временной (см., например, [15]) геометрии часто рассматриваются как внешние на фоне заданной метрики. Поэтому известный интерес с физической точки зрения представляет проблема интегрирования вакуумных уравнений Максвелла для приведённых выше метрик и электромагнитных потенциалов. Рассмотрим вакуумные уравнения Максвелла (8) при условии, что компоненты метрического тензора и электромагнитного потенциала заданы соотношениями (7). I. При интегрировании уравнения (8) следует отдельно рассмотреть два варианта (в зависимости от значения ). A. . Вэтом случае компоненты метрического тензора и электромагнитного потенциала можно, используя допустимые преобразования вида представить в форме (9) Из уравнения Максвелла (8) немедленно получаем Здесь и далее точками обозначаются производные по соответствующим переменным. В данном случае - по . B. . Уравнения Максвелла принимают вид (10) Поскольку , отсюда следует , и решение уравнения (10) запишем как Переобозначив постоянные и преобразовав функции , представим решение в виде, явно учитывающем пространственно-временную сигнатуру: 1. (11) 2. (12) II. Приведём уравнение Максвелла к виду (13) где обозначено Как и ранее, отдельно рассмотрим варианты и . A. . В этом случае из уравнения (13) следует система (14) (15) (16) (17) Легко показать, что система уравнений (16), (17) имеет решение только при условии Из уравнений (16), (17) следует После очевидных преобразований приведём решение уравнения (13) к виду (18) B. . В этом случае, осуществляя такие же преобразования, как и в пункте I (A), полу- чаем (19) где обозначено Уравнения Максвелла сводятся к единственному уравнению (20) решение которого имеет вид (21) где Соотношение (21) представляет собой функциональное уравнение. Поскольку из (21) следует (22) Eсли выполняется условие (23) (точками обозначаются производные по z), то уравнение (22) допускает разделение комплексных переменных. В этом случае, переобозначив , условие (21) можно преобразовать следующим образом: (24) Вместо (22) получим (25) Поскольку из уравнения (25) следует функциональное уравнение решение которого запишем как (26) Проинтегрируем уравнение (26). В результате получим: a) . Без ограничения общности можно полагать Тогда (27) b) (28) Таким образом, искомые решения уравнения Максвелла имеют вид где функции и задаются соотношениями (27), (28); , , - комплексные постоянные. Заключение С физической точки зрения, внимание к внешним полям связано с наличием физических процессов, при исследовании которых влиянием на геометрию всех полей, кроме гравитационного, можно пренебречь. В качестве примера приведем аксионные поля, которые в настоящее время считаются наиболее вероятными кандидатами для описания темной материи. При построении космологических моделей ранней Вселенной эти поля вносят существенный вклад в тензор энергии-импульса [16, 17]. В то же время при изучении совокупности локальных эффектов в сильных гравитационных полях электромагнитные и аксионные поля ввиду незначительности их вклада в формирование геометрии пространства-времени часто можно рассматривать как внешние на фоне заданной метрики (см., например, работу [18]). Укажем ещё одно перспективное направление применения штеккелевых пространств в теории гравитации. Как уже отмечалось, среди пространственно-временных штеккелевых метрик типа есть волнообразные (см. также [19-22]). В последнее время интерес к волновым метрикам значительно возрос. Например, в работах [23, 24] описано распространение гравитационных волн в ускоряющейся Вселенной. Полученные в настоящей работе результаты позволяют строить реалистичные модели с плоскими гравитационными и электромагнитными волнами.

Скачать электронную версию публикации