Invariance properties of a one-dimensional diffusion equation with a fractal derivative in time.pdf Введение Описание физических систем с фрактальными свойствами базируется на геометрии фракталов, которая существенно отличается от геометрии «обычных» непрерывных систем. Различия между непрерывными и фрактальными объектами можно проиллюстрировать на примере сравнения непрерывной и фрактальной кривых. Непрерывная гладкая кривая на малых масштабах приближается к отрезку прямой. Фрактальная кривая на любых, даже сколь угодно малых масштабах, не сводится к отрезку прямой, а остается нерегулярной, подобной самой себе на больших масштабах. Для фрактальной кривой не определено понятие касательной в смысле геометрии гладких многообразий, так как фрактальные кривые в общем случае недифференцируемы. Различия в геометрических свойствах фрактальных и непрерывных систем делают невозможным прямой перенос моделей непрерывных систем на фрактальные, поскольку к фрактальным объектам неприменима «обычная» теория дифференциальных и интегральных уравнений. Поэтому в исследованиях фрактальных систем нашли широкое применение компьютерные методы, которые, при всех своих достоинствах, оставляют в стороне аналитические методы, что приводит к проблеме поиска новых подходов к развитию методов анализа на фрактальных структурах. Для развития аналитических методов на фракталах привлекаются различные идеи и подходы. Некоторые из них признаны адекватными для описания фрактальных свойств объектов определенного вида и послужили основой целого направления в исследованиях фракталов. Примером является использование дробных производных и интегралов для исследования особенностей аномальной диффузии, аномального транспорта, стохастических процессов различной природы и др. (например, [1-5]). Однако дробные производные представляют собой нелокальные операторы, определенные на гладких функциях, и в ряде случаев не подходят для прямого моделирования фракталов, в частности, для операций с фрактальными функциями, отражающими локальные особенности фракталов. Помимо теории дробного исчисления, в литературе предлагаются аналитические подходы, направленные на разработку теории «исчисления на фракталах», в рамках которых определяются базовые понятия анализа: предел, непрерывность, производные и интегралы. В данной работе используется теория -исчисления ( -анализа) на одномерных канторовых множествах (см. [6-9] и цитированную в них литературу). В рамках этой теории вводятся функции от фрактальных переменных и можно рассматривать прямые аналоги дифференциальных и интегральных уравнений, в которых вместо обычных производных используются их фрактальные -аналоги. Такой подход позволяет формулировать модели физических процессов с фрактальными свойствами в терминах уравнений с фрактальными производными и интегралами, что, в свою очередь, ставит задачу исследования свойств таких уравнений и разработки аналитических методов нахождения их решений. Как известно, методы группового и симметрийного анализа уравнений с частными производными являются одними из наиболее разработанных универсальных и алгоритмичных аналитических инструментов исследования уравнений [10-12], причем не только дифференциальных [13, 14]. В работе [15] идеи классического группового анализа дифференциальных уравнений [10- 12] применены к исследованию симметрий уравнений с фрактальными производными в рамках -исчисления [6-8]. Основное внимание уделяется фрактальным аналогам обыкновенных дифференциальных уравнений и теореме Нетер. В данной работе продолжено исследование симметрий уравнений с фрактальными производными -исчисления [6-8], следуя, в основном [12]. Обсуждаются аналоги продолжения преобразований независимых и зависимых переменных и инфинитезимальной инвариантности уравнений с фрактальными производными на примере нахождения лиевских симметрий одномерного уравнения диффузии с фрактальной производной по времени. В п. 1 кратко изложены основные понятия и определения -исчисления на одномерных фрактальных множествах, в п. 2 рассматриваются аналоги преобразований независимых и зависимых переменных с фрактальной независимой переменной, в п. 3 обсуждается продолжение преобразований независимых и зависимых переменных и условие инфинитезимальной инвариантности для уравнений с фрактальными производными, в п. 4 исследуются лиевские симметрии одномерного уравнения диффузии с фрактальной производной по времени. В Заключении обсуждаются полученные результаты. 1. Основные определения -анализа Следуя [6], кратко изложим основные понятия, определения и некоторые утверждения -анализа, необходимые для введения фрактальной производной и интеграла на одномерных фрактальных множествах. Детали можно найти в [6-9]. Пусть - подмножество вещественной прямой , которое в большинстве случаев будет фракталом. В [15] в качестве рассматриваются так называемые -канторовы множества, там же подробно описан алгоритм их построения и свойства. Исходной конструкцией -анализа является -масса, или массовая функция фрактального множества . Для определения массовой функции вначале вводится флаговая функция множества и замкнутого интервала , : , если , и , если . Затем для некоторого разбиения интервала , множества и параметра определяется величина , - гамма-функция Эйлера. В случае полагается . Эта величина позволяет определить гранулярную (крупнозернистую) массовую функцию (coarse-grained mass function) следующим образом: , , (1) где инфимум берется по всем -разбиениям ( ) отрезка . Тогда массовая функция множества определяется как предел . (2) Отметим, что функция вида (1) неотрицательна и возрастает с уменьшением , поэтому , как предел , может быть конечной величиной, или равной . Также, если , то . Значение параметра , при котором массовая функция вида (2) конечна, определяет -размерность множества : Например, для канторова множества (см. [15]) , при котором конечна. Для срединного триадного канторова множества имеем . Базовым понятием -анализа является интегральная ступенчатая (лестничная) функция (integral staircase function) , которая для фрактала дается выражением [6] (3) Интегральная ступенчатая функция используется в роли аргумента другой функции на фрактальном множестве . Заметим, что поскольку такая функция может быть гладкой функцией непрерывной вещественной переменной, но если ее непрерывный аргумент заменить на вида (3), то она будет содержать информацию о фрактале . В данной работе используются, в основном, гладкие функции, зависящие от ступенчатой функции . Определение -предела. Для некоторой функции и число называется пределом функции по точкам множества , или -пределом при , если для любого существует , такое, что , когда , . Такое , если оно существует, обозначается как [6] . Подчеркнем, что это определение не включает значения функции в точках , если , и -предел не определен в точках . Функция является -непрерывной в точке , если . Отметим, что -непрерывность не определена для . Определение -производной. Для фрактального множества и функции -производная определяется выражением [6-9] (4) Наряду с обозначением , используется также обозначение . Свойства -производной подробно рассматриваются в [15]. Отметим, что производная вида (4) обладает свойством линейности, справедлив аналог формулы Лейбница, а производная от интегральной ступенчатой функции равна , (5) где - характеристическая функция множества . -интеграл вводится по аналогии с интегралом Римана - Стилтьеса [16] для класса функций , ограниченных на . Для функции и интервала обозначим Пусть интегральная ступенчатая функция конечна на замкнутом интервале , . Для разбиения интервала введем верхнюю и нижнюю -суммы ; (6) (7) и соответственно верхний и нижний интегралы и . В случае, когда оба интеграла совпадают, функция называется -интегрируемой, а значение верхнего и нижнего интеграла называется -интегралом и обозначается . Свойства -интеграла подробно обсуждаются в [6]. Отметим, что -интеграл обладает свойством линейности. -производная и -интеграл связаны следующими фундаментальными формулами [6-9]. Для -непрерывной функции на , , , справедливо . (8) И из (8) следует . (9) 2. Преобразования независимой фрактальной переменной и зависимой переменной Основные понятия группового анализа дифференциальных уравнений мы применим к уравнениям с фрактальной производной, следуя, в основном, [12] и частично [9]. Вначале рассмотрим простой пример преобразования независимой фрактальной переменной и зависимой переменной в одномерном случае. Переход к многомерному случаю не вызывает трудностей. Пусть есть подмножество в многообразии , где есть фрактал, для определенности можно полагать - срединное канторово множество [9]. На множестве зададим интегральную ступенчатую функцию , , и гладкую функцию . В качестве аргумента функции будем использовать функцию . Обозначим как график функции : . (10) Чтобы задавать преобразования независимой и зависимой переменной на , введем множество точек с координатами , где , . Запишем преобразования непрерывной группы Ли точек : , где , и - гладкие функции, следуя обозначениям [12]. По аналогии введем преобразования на : . (11) Найдем выражения для преобразования графика (10) под действием группы График преобразованной функции задается параметрически выражениями (12) где - тождественная функция на . Для нахождения явного вида исключим в (12), получим Например, если под действием группы преобразуется только независимая переменная, а зависимая не преобразуется, , то для имеем . Здесь - гладкая обратимая функция непрерывной переменной , . В частности, для группы сдвигов на постоянную , , - групповой параметр, имеем . По аналогии с [12] рассмотрим пример группы преобразований в трехмерном пространстве точек вида : . (13) Прямой проверкой с учетом (5) нетрудно убедиться, что данное преобразование оставляет инвариантным уравнение диффузии (теплопроводности) с фрактальной производной по времени [6]: . (14) 3. Продолжение преобразований независимых и зависимых переменных Чтобы получить условия инвариантности дифференциальных уравнений под действием группы Ли преобразований независимых и зависимых переменных, необходимо продолжить пространство независимых и зависимых переменных, включив в расширенное пространство дополнительные переменные, которые будут представлять производные от зависимых переменных. Теория продолжения была развита Л.В. Овсянниковым, описание можно найти, например, в [10-12]. Здесь мы придерживаемся обозначений [12]. Рассмотрим продолжение второго порядка функции в (1+1)-мерном пространстве независимых переменных . Обозначим первые фрактальные -производные как , . Вторые -производные имеют вид , , . Очевидным образом определяются высшие производные порядка по и порядка по . Обозначим первое продолжение функции через . Второе продолжение задается выражениями . Определим индуцированное действие группы преобразования независимых и зависимых переменных (12): . Обозначим точку в множестве через . Продолжение второго порядка вещественной функции , заданной в некоторой области , обозначим следующим образом: . Действие продолженного преобразования на точку определяется с помощью вычисления производных преобразованной функции в точке : Введем аналог векторного поля в пространстве независимых и зависимых переменных. Для этого рассмотрим однопараметрическую группу, состоящую из элементов , преобразований независимых и зависимых переменных с параметром : (15) Аналог векторного поля определим из преобразования (15) компонентами (16) Обозначим аналог векторного поля (16) в точке через : . (17) Система (18) с начальными условиями , , приводит к преобразованию (15). Следуя [12], определим аналог продолженного до второго порядка включительно векторного поля (17) выражением , (19) где . С помощью продолженного векторного поля можно записать условие инфинитезимальной инвариантности дифференциального уравнения [12]. Запишем уравнение второго порядка с -производными (4) в (1+1)-мерном случае в следующем виде: . (20) Обозначим множество решений уравнения (20) через . Пусть есть группа преобразований независимых и зависимых переменных, продолженное действие которой оставляет инвариантным множество уравнения (20), т.е. переводит решение уравнения (20) в некоторое его решение. Тогда условие инфинитезимальной инвариантности действия группы, следуя [12], с помощью (19) запишем в виде при . (21) Чтобы записать явный вид продолженного векторного поля (19) и условия инфинитезимальной инвариантности (20), следуя [12], введем аналоги операторов полного дифференцирования, которые в рассматриваемом (1+1)-мерном случае можно определить выражениями , (22) (23) С помощью операторов (22), (23) в соответствии с [12] можно записать явные выражения для продолженных аналогов векторного поля (17) в следующем виде. Первое продолжение: , (24) где , . (25) Второе продолжение: , (26) где , , . (27) Нетрудно проверить, что , , , … Отметим, что величина есть характеристика векторного поля (17) по терминологии [12]. 4. Лиевские симметрии уравнения диффузии с фрактальной производной Перейдем к нахождению преобразований инвариантности уравнения диффузии (теплопроводности) (14) с -производной по времени . В отличие от рассмотренных в п. 3 преобразований двух независимых переменных на фрактальных множествах, и , в уравнении (14) фрактальному множеству принадлежит переменная , , а пространственная переменная непрерывна, . Тем не менее все полученные в предыдущем пункте явные выражения для аналогов продолженных векторов очевидным образом применимы к рассматриваемому уравнению (14). Запишем уравнение (14) в обозначениях п. 3 следующим образом: , (28) где , . Тогда условие инфинитезимальной инвариантности (21) с учетом вида продолжений (24), (26), условия и вида (28) запишется как . (29) Подставим в (29) явные выражения из (25), из (27) и из уравнения (28). После вычислений уравнение (29) приводится к виду (30) Здесь используются обозначения: соответствует -производной ; соответствует частной производной ; и т.д. Нижние индексы после запятой обозначают частные производные: , , и т.д. Уравнение (30) является определяющим для функций , и . Поскольку эти функции зависят только от , , и не зависят от , , , то, приравняв коэффициенты при соответствующих степенях , , , получим следующие уравнения на компоненты , и аналога векторного поля (17) для уравнения диффузии, заданного выражениями (14), (28): , , , , , , , (31) , 1: . Из уравнений (31) непосредственно следует: , , . Обозначим для краткости , и т.д. В этих обозначениях уравнения вышеприведенного списка дают следующие соотношения: , ; (32) ; (33) . (34) Здесь функции , , , подлежат определению из уравнений (33), (34). Из уравнения (34) имеем ; (35) . (36) Решив уравнения (32) - (35), приходим к следующим выражениям для функций , , : ; (37) ; (38) ; (39) , (40) где , , , , , - произвольные постоянные, функция есть решение уравнения (36), т.е. уравнения (28) диффузии с -производной по вида (4). Справедливость выражений (37) - (40) проверяется также подстановкой в (32) - (35) с учетом определения производной (4), свойства (5), очевидного соотношения и других свойств -производной и -интеграла [6]. Функции , , являются компонентами аналога векторного поля вида (17): . (41) Подставим выражения (37) - (40) в (41) и сгруппируем компоненты , , при одинаковых постоянных , , , , , . Тогда вектор (41) можно представить в виде линейной комбинации следующих векторов: , , , , , (42) . (43) Кроме того, имеем . (44) Векторы (42) - (44) образуют базис алгебры лиевских симметрий уравнения (14). Проинтегрировав систему (18), которая в рассматриваемом случае принимает вид , , , (45) с каждым из векторов (42) - (44) с начальными условиями , , , получим однопараметрические группы преобразований инвариантности уравнений (14), (28): , , (46) , (47) , (48) (49) Вектору соответствует свойство суперпозиции решений уравнения (14): . При интегрировании системы (45) используются свойства -интеграла (8), (9). Отметим, что рассмотренное выше преобразование (13) совпадает с (48) и соответствует вектору . Заключение В работе свойства симметрии уравнений с фрактальной -производной исследуются в рамках классического группового анализа дифференциальных уравнений. В контексте [12] рассматриваются продолжения преобразований независимых и зависимых переменных в (1+1)-мерном случае с фрактальной переменной в виде ступенчатой функции , причем преобразования задаются гладкими функциями. Из соображений простоты мы ограничились продолжением не выше второго порядка. Для уравнения второго порядка с фрактальной производной приведен аналог условия инфинитезимальной инвариантности уравнения относительно однопараметрической группы преобразований. На примере (1+1)-мерного уравнения диффузии с -производной по времени с использованием первого и второго продолжений и условия инфинитезимальной инвариантности получены аналоги векторных полей (лиевские симметрии) и соответствующие преобразования инвариантности уравнения. При решении уравнений, определяющих аналоги векторных полей и преобразований инвариантности, используются свойства -производной (4), (5) и -интеграла (8), (9) и другие свойства, подробно изложенные в [6]. В работе рассматриваются в основном гладкие функции независимых и зависимых переменных, фрактальные свойства проявляются через ступенчатую функцию и свойства -про¬изводной и интеграла. Поэтому найденные выражения для векторов (42) - (44) и преобразований (46) - (49) оказались такими же, как и известные лиевские симметрии обычного уравнения диффузии с непрерывными независимыми и . Тем не менее специфика -анализа проявляется при решении определяющих уравнений и в преобразованиях инвариантности (46) - (49). Полученные результаты могут представлять интерес при изучении свойств симметрии более сложных уравнений, например, нелинейных уравнений с фрактальными производными.

Скачать электронную версию публикации