Gravitational interactions in the Dirac spinor fields and possible structure of local space-time of fermions.pdf Рассматриваются возможные эффекты гравитационного взаимодействия дираковского спинорного поля в рамках эйнштейновской теории гравитации (ОТО). В силу особенностей этого взаимодействия для спинорного поля, о чём мы расскажем ниже, результаты такого взаимодействия проявляются, в основном, лишь локально, т.е. в том месте, где находится частица дираковского спинорного поля со спином ħ/2, т.е. фермион. Оставаясь на уровне классической физики, рассматриваем спинорную частицу протяжённым объектом, ограниченным своей комптоновской длиной волны , имеющим объём . При рассмотрении вопроса о гравитационном взаимодействии спинорного поля введём лагранжиан спинорного поля в римановом пространстве-времени, являющийся ковариантным обобщением лагранжиана дираковского спинорного поля в пространстве Минковского . (1) Здесь - матрицы Дирака в римановом пространстве, удовлетворяющие условию фундаментальной связи пространства и спина, , (2) где - метрический тензор риманова пространства-времени с сигнатурой (1, 1, 1, -1); - единичная матрица 4×4; - дираковская спинорная 4-компонентная функция; - дираковский сопряжённый спинор; - ковариантная производная спинора в римановом пространстве [1]: , , (3) где - коэффициенты спинорной связности. Эти коэффициенты определяются из уравнения [2] , (4) которое следует из условий метричности , и , - коэффициенты аффинной связности риманова пространства. Следует отметить, что левая часть уравнения (4) представляет собой определение ковариантной производной матриц , являющихся спинтензорами второго ранга, т.е. это матричные векторы в римановом пространстве, а элементы этих матриц есть компоненты спинора второго ранга. Матрицы Дирака в римановом пространстве определяются, используя тетрадный формализм. Для этого в каждой точке риманова пространства строится касательный ортонормированный репер-тетрада , удовлетворяющий соотношениям , , , . (5) Здесь - метрический тензор пространства Минковского, касательного к римановому пространству. Кроме того, индексы , , , относятся к объектам касательного пространства Минковского, а индексы , , , - к объектам рассматриваемого риманова пространства. Далее, используя соотношения (2) и (4), находим выражения для матриц риманова пространства , , (6) где - матрицы пространства Минковского. Используя соотношения (5), (6), находим решение для коэффициентов спинорной связности [1, 2] ( - произвольный вектор). (7) Подставляя формулы (3) для ковариантных производных спиноров , в лагранжиан (1) для спинорного поля, представим лагранжиан в виде . (8) Выражение в (8) представляет собой лагранжиан взаимодействия спинорного поля с гравитационным полем. Подставляя теперь в (8) формулу (7) для спинорной связности и используя алгебру тетрад (5) и алгебру матриц Дирака, лагранжиан (8) вместе с окончательно приведём к виду с ясным физическим смыслом: . (9) Здесь представляет собой угловую скорость вращения поля тетрад, а математически 4-мерный ротор тетрадного репера . (10) Угловая скорость является кинематической характеристикой вихревого гравитационного поля, т.е. вихревой составляющей полного гравитационного поля, и определяет его плотность потока момента импульса : , . (11) В то же время аксиальный 4-вектор определяет плотность потока момента импульса (спина) спинорного поля , так что лагранжиан взаимодействия спинорного и вихревого гравитационного полей в (9) можно записать в следующем виде: . (12) То есть получается спин-спиновое взаимодействие спинорного и гравитационного полей с константой взаимодействия . Лагранжиан системы гравитационного и спинорного полей, как известно, в общем случае имеет вид . (13) Из скалярной кривизны можно выделить вихревую часть [3]: . (14) Здесь есть безвихревая часть скаляра . Теперь, учитывая формулы (9) и (14), полный лагранжиан системы взаимодействующих гравитационного и спинорного полей (13) можно представить в развёрнутом виде: . (15) Варьируя плотность действия по и приравнивая вариацию нулю, найдём соотношение между и плотностью потока спина спинорного поля: . (16) Формулы (12) и (16) показывают, что взаимодействие вихревых составляющих спинорного и гравитационного полей является контактным взаимодействием, т.е. угловая скорость появляется лишь локально - в тех точках пространства, где присутствует момент импульса спинорного поля. Из всего этого следует вывод, что при рассмотрении дираковской спинорной частицы со спином ħ/2 как протяжённого объекта, ограниченного его комптоновской длиной волны , с пространственным объёмом каждая точка внутри этого объёма совершает вращательное движение с угловой скоростью вокруг оси, направленной вдоль спина в соответствии с формулой (16), и получается, что фермион на самом деле вращается вокруг своей оси, параллельной направлению вектора спина. Эту ось, естественно, можно считать осью симметрии, вдоль которой удобно направить ось OZ цилиндрической системы координат в стационарном пространстве-времени с цилиндрической симметрией. Простым примером такого стационарного пространства-времени, где может существовать стационарное вихревое гравитационное поле, является пространство-время, описываемое метрикой [4] , (17) где метрические коэффициенты A, B, C, D, E есть функции от радиальной координаты x. Такой метрикой, мы считаем, и определяется локальное пространство-время дираковской спинорной частицы. Выбираем хронометрическую систему отсчёта, в которой времениподобный вектор тетрады является единичным касательным вектором координатных линий времени. Его компоненты такие: , . (18) Остальные три тетрадных вектора определяются следующими компонентами: , , . (19) Ковариантные компоненты векторов тетрады определяются через соотношение . Теперь, пользуясь формулой (10) для угловой скорости , через тетрадные векторы (18), (19) вычисляем вектор и его модуль : , . (20) Далее находим метрику эффективного пространственного сечения, которая будет иметь вид , . (21) Поэтому геометрические свойства пространства-времени (17) определяются коэффициентами A, R, C, D. Для полного определения физических и геометрических свойств локального пространства-времени фермиона необходимо решить совместную систему уравнений Эйнштейна - Дирака с учётом результатов, приведённых выше: (22) Пропуская промежуточные выкладки, выпишем уравнения Дирака в пространстве с метрикой (17) для спиноров и : (23) Здесь ; - матрицы Дирака пространства-времени Минковского. Эти уравнения имеют следующие решения для действительных тензорных величин, которые необходимы для вычисления компонент тензора энергии-импульса спинорного поля: , ; . (24) Тензор энергии-импульса спинорного поля вычисляем по формуле [1] . (25) Для рассматриваемого случая компоненты при использовании уравнений (23) и формул (24) получаются следующие: ; ; ; ; . (26) Остальные компоненты . Далее, после вычисления компонент тензора Риччи , которые мы здесь не приводим, выписываем уравнения Эйнштейна для системы гравитационного и спинорного полей, используя изотермические координаты : (27) Эта система имеет следующие первые интегралы: ; ; , (28) где ; . С помощью формул (28) получаем более простое выражение для угловой скорости : , (29) которая, как показывает формула (20), направлена вдоль оси OZ, параллельной направлению спина. Далее будем рассматривать задачу, когда , т.е. для безмассового спинорного поля, поскольку при получить аналитическое решение не представляется пока возможным. Однако такое ограничение не является слишком сильным, так как член взаимодействия в лагранжиане спинорного поля (9), равный , при подстановке в него выражения (29) для вектора угловой скорости становится равным , и в результате лагранжиан спинорного поля принимает вид . (30) Таким образом, получился лагранжиан нелинейного спинорного поля типа Иваненко - Гейзенберга с квадратичной псевдовекторной нелинейностью [5], которая может играть роль добавочной массы. Далее, существует спинорное тождество [6] . (31) Подставляя его в спинорный лагранжиан, приведём лагранжиан к виду . (32) Из сравнения массивного слагаемого с последующим видно, что величина играет роль добавочной массы у спинорного поля : ; ; отсюда получаем . (33) В рассматриваемом случае , , и поэтому индуцированная добавочная масса , . С учётом полученного результата, вполне допустимо полагая , выведем ещё один интеграл системы уравнений (27): ( , ). (34) Теперь, используя интегралы (28) и (34) системы уравнений (27), получаем уравнение для функции . (35) Его решение следующее: , . (36) Используя затем одну из формул (28) для функции , , где обозначено , получаем решение для метрического коэффициента : , ( ). (37) С помощью формул (36), (37) находим угловой метрический коэффициент у метрики эффективного пространственного сечения (21): . (38) Применяя интеграл системы (27) для функции : , находим метрический коэффициент : , . (39) При изменении знака у коэффициента угловой метрический коэффициент примет вид ( ). (40) Видно, что при функция во всём интервале ( ) не обращается в нуль, и при и , что соответствует наличию двух пространственных бесконечностей на концах интервала ( ). Следовательно, получилась геометрия «кротовой норы» [7]. Тогда метрический коэффициент будет выглядеть так: . (41) Здесь существует интересный вариант, когда , и коэффициент примет вид . (42) Из этой формулы следует, что при , одновременно и метрические коэффициенты при , т.е. на правом конце получившейся «кротовой норы» образуется плоская асимптотика. Однако на левом конце интервала при , т.е. с левого конца «кротовая нора» будет закрыта горизонтом видимости, как в случае «чёрной дыры». Есть ещё один вариант, при котором получается геометрия «кротовой норы», это когда обе константы и меняют свой знак, так что остаётся больше 0, и при этом , т.е. если ( ). Тогда функция будет определяться формулой ( ). (43) Здесь - корень уравнения ; . Видно, что во всём интервале ( ) и при и ( ), что соответствует наличию двух пространственных бесконечностей, т.е. опять получилась геометрия «кротовой норы». В заключение отметим, что в рамках ОТО мы исследовали геометрию пространства-времени дираковской спинорной частицы со спином внутри занимаемого ею эффективного объёма , т.е. локального пространства-времени частицы, и показали, что в силу особенностей гравитационного взаимодействия спинорного поля такая частица (фермион) на самом деле вращается вокруг оси симметрии, параллельной направлению её момента импульса (спина). Кроме того, при надлежащем выборе определяющих параметров геометрии локального пространства-времени частицы получается геометрия «кротовой норы», причём один из её концов, условно на входе, имеет плоскую асимптотику, и поэтому частица будет наблюдаемой. Обнаружен также эффект увеличения массы спинорной частицы в результате её гравитационного взаимодействия. Следует отметить, что мы рассматривали пока случай электрически нейтральных спинорных частиц и поэтому не учитывали эффекты электромагнитного взаимодействия спинорного поля. Если же рассматривать эффекты гравитационного взаимодействия дираковских спинорных частиц с электрическим зарядом, то специфика их гравитационного взаимодействия будет, естественно, такой же, как и у нейтральных, т.е. гравитационное взаимодействие будет проявляться локально и приводить также к вращению частиц вокруг оси симметрии, параллельной спину. Но вращение электрически заряженной среды приводит к появлению электрических кольцевых токов, порождающих продольное магнитное поле, в результате чего образуется магнитный момент электрически заряженной спинорной частицы. Именно таким образом можно объяснить существование магнитного момента у дираковских спинорных частиц как результат их гравитационного взаимодействия, проявляющегося, как мы показали, в основном локально, как спин-спиновое взаимодействие.

Скачать электронную версию публикации