Geometry of entropy functions in the extended parastatistics of non-extensive systems.pdf Введение В настоящее время наблюдается дальнейшее развитие неэкстенсивной (неаддитивной) статистической механики [1-4]. Результаты основаны на различных статистических моделях с параметрическими энтропиями, зависящими от одного или большего числа чисел, причем . Для фрактальных систем число связано с фрактальной размерностью, а для неэкстенсивных систем оно служит мерой неаддитивности. Отдельной темой является парастатистика, введенная в работе [5] на основе метода Бозе для аддитивных систем [6], в котором число частиц в -состоянии меняется от 0 до r. При вытекают результаты статистики Ферми - Дирака и при имеют место результаты статистики Бозе - Эйнштейна. Различные свойства парастатистики неэкстенсивных систем рассматриваются в работах [7-11]. Так, в [9-11] представлено расширение парастатистики, в которой число частиц в -состоянии меняется от s до r, что приводит к следующему распределению для среднего числа частиц в равновесном состоянии замкнутой аддитивной системы: , (1) где - температура; - энергия в -состоянии; - химический потенциал. При имеет место выражение традиционной парастатистики [5] . (2) В продолжение работ [10-12] представляется необходимым дальнейшее исследование геометрических и алгебраических свойств расширенной парастатистики неэкстенсивных систем. 1. Функции энтропии Используем метод квантовых состояний Бозе, примененный впервые для исследования статистики фотонов [6]. Пусть - совокупность частиц и есть состояния. Рассматривается квантовая система при расширенной парастатистике с состояниями , означающими, что в -состоянии находится j частиц ( и ). Согласно расширенной парастатистике неэкстенсивных систем, имеют место исходные равенства [10] ; (3) ; (4) . (5) Здесь для каждого -состояния усреднение производится ненормированным распределением и - дискретные значения произвольной физической величины. При и имеет место равенство традиционной парастатистики [5] для аддитивных систем. Параметрическая квантовая энтропия имеет следующий вид: . (6) Среднее взвешенное значение энтропии (7) зависит от полунормы распределения , (8) логарифм которой, умноженный на , дает квантовую энтропию . (9) Энтропии (6) и (9) являются квантовыми аналогами энтропий Хаврда - Чарват - Дароши [12, 13] и Реньи [14] с , впервые строго математически полученных в теории информации и широко используемых в статистической механике сложных и фрактальных систем. Геометрические свойства параметрических энтропий основываются введением значения угла (10) и длины радиус-вектора в двумерном пространстве функций энтропии с координатами , отношение которых равняется безразмерному значению средней взвешенной энтропии. Тогда квантовая энтропия (7) в зависимости от угла запишется так: . (11) Функции энтропии представляются в общем виде . (12) Значения комформного множителя и определяются ниже. Закон композиции для абелевой группы средних энтропий (7) имеет квадратичную нелинейность (13) для независимых систем с , и , а для квантовой энтропии (9) имеет место аддитивный закон . 2. Метрическая функция двумерного пространства Рассмотрим алгебраическое представление абелевой группы функций энтропии (12) и запишем комформно-обобщенное гиперкомплексное число [15] (14) с базисными элементами , и комформным множителем. В (14) не выписан базисный элемент , на который умножается . Закон композиции базисных элементов следующий: (15) с и, следовательно, имеет место закон композиции чисел (16) который коммутативен и ассоциативен . Из (16) вытекают равенства ; (17) . (18) Делим на и получаем закон композиции (13) для средних энтропий. Сопряженное число для (14) имеет вид . (19) В итоге получим модуль числа (20) и обратный элемент . (21) Определим характеристическое уравнение для числа (14) (22) и получим уравнение (23) с и . Решением уравнения (23) являются характеристические числа . (24) Тогда уравнение (22) примет вид (25) и для модуля числа получим . (26) Характеристические числа вытекают из свойств матричного представления комформно-обоб¬щенного гиперкомплексного числа. Так, перепишем (14) в общем виде (27) с законом композиции и характеристической матрицей , (28) где есть структурные константы. Из (28) вытекает матрица , (29) которая соответствует комформно-обобщенному числу (14). Умножение матриц коммутативно , ассоциативно и имеет обратный элемент , (30) где - единичная матрица и детерминант матрицы равен . (31) Таким образом, выполняются все групповые свойства матриц. При умножении двух матриц получим (32) Здесь и совпадают с выражениями (18). Находим характеристические числа для матрицы (29) (33) и получаем значения (24), соответствующие комформно-обобщенному гиперкомплексному числу. Для определения функции воспользуемся групповыми свойствами ; (34) . (35) Дифференцируем равенство (34) с учетом аддитивности группы углом со свойством и получим равенство для всех систем (36) с константой . Из (36) вытекает значение функции в зависимости от угла . Тогда (14) запишется так: . (37) В итоге получим выражение . (38) Число (14), модуль числа и матрица (29) преобразуются к виду ; (39) ; (40) (41) Согласно (40), комформный множитель в (12) имеет значение . При и получим значения и соответственно. Согласно (39) и (40), вытекает формула для комформно-обобщенного гиперкомплексного числа . (42) Модуль числа (40) есть метрическая функция глобальной финслеровой геометрии [16]. Значение представляет собой индикатрису. При имеет место длина радиус-вектора в косоугольной декартовой системе координат [11]. Заключение В работе определена алгебраическая и геометрическая структуры группы функций энтропии неэкстенсивных систем. Рассматривается комформно-обобщенное гиперкомплексное число с функциями энтропии и приводится метрическая функция глобального двумерного финслерового пространства.

Скачать электронную версию публикации