Constructing invariant differential operators on homogeneous spaces using THE star-product.pdf Введение В работе [1] были получены формулы, позволяющие заменить работу с операторными функ-циями из универсальной обертывающей алгебры Ли на работу с ассоциативной алгеброй гладких функций на дуальном пространстве к Алгебре Ли . В этом исследовании, в частности, было показано, что выбор локальных координат в окрестности единицы группы определяет способ упорядочения операторов в операторных функциях. В настоящей статье мы используем указанные результаты для исследования проблемы по-строения инвариантных дифференциальных операторов на однородных пространствах . Отметим, что данная задача имеет большое значение как для геометрии [2], так и для теоретиче-ской и математической физики [3]. Например, знание алгебры инвариантных операторов на одно-родных пространствах позволяет в явном виде конструировать на них релятивистские волновые уравнения, имеющие геометрические симметрии и допускающие в ряде случаев точную интегри-руемость. С другой стороны, инвариантные операторы сами могут выступать в качестве симмет-рий некоторых модельных систем, например, так называемых квазиточно разрешимых потенциа-лов уравнения Шредингера [4]. Структура настоящей работы следующая. В первом разделе мы напоминаем некоторые сведе-ния из нашей предыдущей работы [1]. В частности, мы приводим удобную формулу для вычисле-ния звездного произведения символов операторов в терминах функции композиции на группе Ли, а также напоминаем рекуррентный алгоритм построения квантовых интегралов движения, сводя-щийся к интегрированию классических гамильтоновых систем на дуальных пространствах алгебр Ли. Второй раздел содержит некоторые факты, касающиеся алгебр инвариантных дифференци-альных операторов на однородных пространствах, а также описание оригинального эффективного метода их вычисления с помощью звездного произведения символов операторов. В третьем разде-ле приводится пример применения нашего метода: мы вычисляем алгебру инвариантных диффе-ренциальных операторов на четырехмерном однородном пространстве неразрешимой пятимерной группы Ли. 1. Предварительные сведения В целях замкнутости изложения напомним в настоящем разделе некоторые необходимые све-дения, следуя нашей предыдущей работе [1]. Пусть G - связная и односвязная вещественная n-мерная группа Ли, - ее алгебра Ли, базис-ные элементы которой удовлетворяют коммутационным соотношениям: . Пусть также задано некоторое представление группы G в линейном пространстве L. Мы будем обозна-чать одной и той же буквой элемент , лежащий в окрестности единицы группы, и соответст-вующий набор его локальных координат ( - n-мерный открытый куб), причем . Линейные операторы , , являются генераторами представления группы G и образуют базис представления алгебры в пространстве L: . (1) Здесь - некоторый вещественный положительный параметр (в квантовой механике соответству-ет постоянная Планка). Отметим, что в физических приложениях обычно накладывается дополни-тельное требование об унитарности представления . В настоящей работе нет необходимости на-кладывать это ограничение. Каждому оператору взаимно-однозначно сопоставим его символ и распространим это соответствие по линейности на всю алгебру : , . Продолжим эту операцию на обертывающую алгебру , т.е. каждой операторной функции поста-вим в соответствие полиномиальную функцию от символов . Символы можно ото-ждествить с координатами линейного функционала в двойственном базисе: , где . Таким образом, каждой операторной функции на алгебре мы ставим в соответствие ее символ - полиномиальную функцию из . Отметим, что описанное нами соответствие между функциями от символов и операторными функциями является неоднозначным; для его однозначной фиксации требуется выбрать какой-либо способ упорядочивания операторов. В работе [1] была введена удобная формула, связываю-щая операторные функции и их символы : . (2) Из формулы (2), в частности, следует, что выбор локальных координат в окрестности единицы группы определяет способ упорядочивания операторов в операторных функциях. При указанном выше соответствии между функциями от символов и операторными функция-ми произведению двух операторов будет соответствовать так называемое звездное произведение (star-product) их символов: . Линейное пространство гладких функций на , снабженное бинарной операцией « », является ассоциативной, но некоммутативной алгеброй A c единицей. Используя формулу (2), можно пока-зать, что , (3) где - функция композиции (умножения) в группе Ли G в локальных координатах. Введем на алгебре A скобку Пуассона , . (4) Поскольку формула (3) для звездного произведения зависит от выбора в группе Ли локальных ко-ординат, то каждому такому выбору координат соответствует своя скобка Пуассона (4). При этом все различные скобки являются деформациями скобки Ли - Пуассона , т.е. , (5) где , . (6) Рассмотрим классическую гамильтонову систему на дуальном пространстве , порожден-ную скобкой Ли - Пуассона (6) и полиномиальным гамильтонианом : (7) Пусть - ее интеграл движения, также полиномиальный по переменным X, т.е. и Обозначим через гамильтониан соответствующей квантовой системы. Зафиксировав опре-деленный способ упорядочения операторов, будем считать, что функция является символом оператора . Тогда поиск операторной функции , удовлетворяющий условию , будет эквивалентен поиску функции такой, что (8) В работе [1] было показано следующее Утверждение 1. Если существует полиномиальный квантовый интеграл движения и класси-ческая гамильтонова система (7) интегрируема в квадратурах, тогда задача построения символа квантового интеграла движения (8) решается в квадратурах. Мы не будем здесь приводить подробное доказательство этого утверждения, отметим лишь, что оно является конструктивным и фактически дает способ построения функции в виде ряда , конечность которого является следствием полиномиальности функции . Коэффициенты этого ряда вычисляются с помощью рекуррентных соотношений ; (9) , (10) где . Начальные условия для рекуррентной последовательности выбираются в виде . Отметим, что уравнение (9) является линейным дифференциальным уравнением в частных производных первого порядка на независимую функцию , задача интегрирования кото-рого полностью эквивалентна задаче интегрирования классической гамильтоновой системы (7). В свою очередь, уравнение (10) является определением функции . Нетрудно также пока-зать, что классический интеграл движения продолжается до символа квантового интеграла при фиксированном правиле упорядочивания единственным способом. 2. Построение инвариантных дифференциальных операторов на однородном пространстве Пусть M - однородное правое G-пространство, - алгебра Ли связной подгруппы изотропии - каноническая проекция. Группа G действует на пространстве M пра-вых смежных классов правыми сдвигами, - генераторы действия группы, которые образуют базис алгебры Ли с коммутационными соотношениями (1). Здесь - базис левоинвариантных векторных полей на группе G, . По определению алгебра D(M) дифференциальных операторов состоит из операторов, комму¬тирующих со всеми генераторами действия группы G. В данном разделе мы изложим алгоритм практического построения инвариантных дифференциальных операторов, порождающих D(M). Отметим, что с точки зрения приложений, прежде всего интегрирования дифференциальных уравнений и гармонического анализа на однородных пространствах, более значимой является алгебра инвариантных дифференциальных и интегро-дифференциальных операторов [5]. Ассоциативная алгебра порождается конечным числом операторов , коммутаторы которых образуют, в общем случае, нелинейные оператор-ные функции от этих же операторов: . Алгебру с подобными нелинейными коммутационными соотношениями мы будем называть F-алгеброй (в линейном случае F-алгебра является алгеброй Ли, в квадратичном случае - квадратич-ной алгеброй и т.д.). Как линейное пространство алгебра F имеет размерность [5, 6]: . (11) Здесь - элемент общего положения пространства ; - стабилизатор функционала ; . Размерность центра алгебры F называется ее индексом ( ) и вычисляется в соответствии с формулой (12) Как показано в работе [2], элементы алгебры находятся во взаимно-однозначном соответствии с элементами фактор-пространства , где - обертывающее тело алгебры . Заметим, что в случае компактной группы H алгебра отождествляется с фактор-алгеброй Очевидно включение , которое, в частности, влечет включение . Дефектом однородного пространства M называется число (13) Пространства нулевого дефекта называются коммутативными. В этом случае алгебра F комму¬тативна и порождается центром обертывающего тела . Число равно половине раз-мерности симлектического листа пуассоновой F-алгебры. Обсудим способ построения в локальных координатах базиса F-алгебры инвариантных опера-торов. Пусть x - локальные координаты в пространстве M, - проекция группы G на пространство правых смежных классов , s - борелевское отображение M в G, такое, что . Тогда каждый элемент g группы G однозначно записывается в виде ; , . (14) С помощью (14) каждую функцию на однородном пространстве M можно отождествить с некото-рой функцией на группе Ли G, которая постоянна на правых смежных классах: , , . В силу связности группы это эквивалентно: , ; , (15) где - правоинвариантные векторные поля, отвечающие базисным элементам из подалгебры изотропии h. Выпишем в координатах (единица e группы G имеет координаты ) правоин-вариантные векторные поля, соответствующие подалгебре изотропии, а также левоинвариантные векторные поля на группе G: ; . Из условия и приведенных выше формул следует очевидный результат: в коорди-натах функции на G, постоянные на каждом правом классе смежности, не зависят от пере-менных h и генераторы группы преобразований являются ограничением левоинвариантных по-лей на пространство правых смежных классов, т.е. . Очевидно, что множество дифференциальных и интегро-дифференциальных операторов, коммутирующих со всеми , принадлежит обертывающему телу от алгебры правоинвари-антных полей . Это же утверждение справедливо и при ограничении на M. (Мы считаем, что элементами обертывающего тела являются почти всюду аналитические функции от ба-зисных операторов алгебры .) Однако не все элементы из допускают корректные огра-ничения. В силу условия (15) корректное ограничение на M допускают лишь H-инвариантные операторы. Иначе говоря, инвариантным интегро-дифференциальным оператором на M будет яв-ляться ограничение операторной функции , удовлетворяющей условию . (16) Здесь - некоторые элементы из . Зафиксируем способ упорядочивания операторов алгебры Ли, при котором операторы из по-далгебры изотропии стоят справа. Тогда, как нетрудно видеть с помощью формулы (16), символа-ми инвариантных операторов будут являться функции на , удовлетворяющие равенствам , (17) где скобка Пуассона в данных локальных координатах на группе G определяется форму-лами (3) и (4). С алгеброй инвариантных операторов на однородном пространстве M тесно связан классиче-ский объект - алгебра инвариантных функций на кокасательном расслоении Пусть - симплектическая 2-форма на . Действие группы G на однородном простран-стве M продолжается до действия на кокасательном расслоении посредством сдвига вдоль интегральных траекторий гамильтоновых векторных полей с базисными гамильтонианами . Функции на кокасательном расслоении, инвариантные относи-тельно такого действия группы, называются G-инвариантными. Алгоритм нахождения G инвариантных функций на кокасательном расслоении заключается в нахождении H-инвариантых функций на коалгебре и в последующей подстановке , т.е. , где - правоинвариантные векторные поля на группе G [6]. Таким образом, мы имеем , где , (18) Из уравнений (17), (18) и соотношения (5) следует очевидный результат: символы инвариант-ных функций являются классическими пределами символов инвариантных операторов . Таким образом, для нахождения символов инвариантных дифференциальных операторов, порож-дающих алгебру , необходимо решить уравнение (17), для интегрирования которого можно воспользоваться следующим алгоритмом. 1. Решить переопределенную систему дифференциальных уравнений первого порядка (18) и найти . 2. Воспользоваться рекуррентной процедурой (9), (10) и построить . При этом из утверждения 1 следует, что для построения инвариантных дифференциальных операторов нам достаточно только уметь интегрировать классические гамильтоновы системы (7) . 3. Вычисление инвариантных операторов на однородном пространстве пятимерной неразрешимой группы Ли Рассмотрим пример применения нашего алгоритма. Пусть G - пятимерная неразрешимая группа Ли, алгебра Ли которой имеет следующие ненулевые коммутационные соотношения: , , , , , , . Пусть - правое однородное четырехмерное G-пространство с одномерной подгруппой изотропии , где h - локальная координата на подгруппе H, , - генераторы группы преобразований. Вычислим размерность и индекс F-алгебры инвариантных операторов. В данном случае , , . Согласно формулам (11), (12), (13), получаем , , . Таким образом, для рассматриваемого однородного пространства алгебра инвариантных операторов трехмерна, не-коммутативна, имеет одномерный центр и не порождается генераторами группы преобразований. Для вычисления символов инвариантных операторов выпишем уравнение (18) . Решения этого уравнения очевидны: , . В результате мы фактически нашли пуассонову алгебру G-инвариантных функций на , так как ; легко также получить коммутационные соотношения для этой алгебры: , , . Функция порождает центр этой пуассоновой алгебры. Построим теперь символы инвариантных дифференциальных операторов. Введем правило упорядочивания операторов: (напомним, что операторы, соответствующие подал-гебре изотропии, должны находиться справа). Правило упорядочивания определяет следующий выбор локальных координат: . (19) Используя формулу (3) в координатах (19), получаем . Отсюда следует . Таким образом, мы получили символы двух инвариантных операторов: , . Для на-хождения третьего воспользуемся рекуррентной процедурой (9), (10). Положим , . Тогда . Уравнение (19) при имеет частное решение . Из формулы (10) получаем и, следовательно, постро-енный символ инвариантного дифференциального оператора имеет вид . Итак, мы нашли базис алгебры инвариантных дифференциальных операторов: , , . (20) Нетрудно видеть, что эта алгебра образует трехмерную разрешимую алгебру Ли с базисными коммутационными соотношениями , , и центром в обертывающей алгебре. Предъявим теперь явный координатный вид генераторов группы преобразований и ком-мутирующих с ними инвариантных дифференциальных операторов . Для этого выберем локаль-ные координаты на группе G: . В этих координатах лево- и правоинвариантные поля имеют соответственно вид ( ) , , , , , , , , , (21) . Отсюда получаем координатное представление генераторов : , , , , . Используя формулы (20), (21), приведем координатный вид найденных выше инвариантных диф-ференциальных операторов , , .

Скачать электронную версию публикации