Research on a complete model of cosmological evolution a classical scalar field with a Higgs Potential. III. Features of.pdf 1. Динамическая система космологической модели В работе [1] была сформулирована и частично исследована полная космологическая модель, основанная на классическом скалярном поле Хиггса. В ней, в частности, было введено понятие гиперповерхности Эйнштейна - Хиггса, являющееся важным инструментом для понимания пове-дения космологических моделей. В работе [2] эта модель была расширена на асимметричный ска-лярный Хиггсов дублет, содержащий классическое и фантомное скалярные поля, и исследована методами качественного и численного анализа. В предыдущих статьях авторов на основе модели космологической эволюции классического скалярного Хиггсова поля был проведен детальный ка-чественный и численный анализ поведения соответствующих космологических моделей. В данной работе мы исследуем потоки фазовых траекторий рассмотренной динамической модели, посколь-ку отдельные фазовые траектории, возможно, описывают случайные особенности поведения кос-мологической модели. Для выяснения общих закономерностей поведения системы, в частности, вблизи особых точек, необходимо исследовать фазовые потоки, в которых каждая траектория по-рождена достаточно близкими начальными условиями. Напомним, что космологическая модель, основанная на классическом вакуумном скалярном поле Хиггса, описывается автономной трех-мерной динамической системой в фазовом пространстве (скалярный потенциал, его производная и нормированный параметр Хаббла): ; (1) ; (2) , (3) где производные берутся по времени в комптоновских единицах ; , - перенормированные космологическая постоянная и константа самодействия; - индикатор. Кроме того, необходимо учитывать уравнение гиперповерхности Эйнштейна - Хиггса, являющее-ся, по сути, уравнением Эйнштейна , а с другой стороны - первым частным интегралом динами-ческой системы (1) - (3): , (4) где (5) - эффективная энергия динамической системы (1) - (3). Выпишем соотношения для физических характеристик космологической модели: инвариантного космологического ускорения (6) и инвариантной кривизны пространства Фридмана . (7) Запишем также уравнение (3) в другом виде, являющемся дифференциально-алгебраическим следствием (3) и (4), удобном для анализа поведения фазовых траекторий: , (8) согласно которому в космологической модели с классическим скалярным полем Хиггса постоян-ная Хаббла не может возрастать со временем. Переходя к численному моделированию исследуемой динамической системы, заметим, во-первых, что некоторые существенные особенности поведения этой системы уже были выявлены на основе численного моделирования в работе [1]. Следуя этой работе, динамическую систему (1) - (3) будем определять двумя упорядоченными списками: трех безразмерных параметров и начальных условий , где , причем значению соответст-вует фаза расширения в начальный момент времени , значению - фаза сжатия в этот мо-мент времени. Согласно сказанному выше, начальное значение постоянной Хаббла определяется уравнением Эйнштейна (4), из которого имеем (9) Динамическая система (1) - (3) является автономной системой обыкновенных дифференциальных уравнений, вследствие чего инвариантна по отношению к трансляции . Поэтому в качест-ве начального момента времени при формировании начальных условий может быть выбрано лю-бое значение . Мы положим это значение равным нулю. При этом мы вправе рассматривать и состояния динамической системы при отрицательных временах . Численное интегрирование проведено в математическом пакете Maple методом Рунге - Кутты 7-8 порядков (dverk78) с относительной и абсолютной точностью вычислений . В этой работе мы будем использовать результаты предыдущих работ [3, 4], в частности анализ особых точек системы. Далее в этой статье мы рассмотрим две принципиально различные космологические модели - с положительным и отрицательным значением космологической постоянной. 2. Фазовые потоки модели с положительным значением космологической постоянной λm = 0.1 2.1. Модель с параметрами: P = [1,1,0.1] На рис. 1 - 3 представлены фазовые траектории, полученные численным интегрированием динамической системы (1) - (3) с параметрами P = [1, 1, 0.1], а на рис. 4 и 5 - графики эволюции эффективной плотности энергии и космологического ускорения . Всю-ду . Заметим, что в данном случае особые точки являются седловыми точками, точка - притягивающей, а - отталкивающей. Рис. 1. Фазовые траектории динамической системы (1) - (3) для параметров P = [1, 1, 0.1] в плоскости на фоне карты особых точек при Рис. 2. Фазовые траектории динамической системы (1) - (3) для параметров P = [1, 1, 0.1] в плоскости на фоне карты особых точек при Рис. 3. Фазовые траектории динамической системы (1) - (3) для параметров P = [1, 1, 0.1] на гиперповерхности Эйнштейна - Хиггса, начальные условия: Ф(0) = [-1.5, -1.47, -1.45, -1.425, -1.4, -1.25, -1, -0.7, -0.5, -0.25, -0.0001] - сплошные линии, Ф(0) = [0.0001, 0.25, 0.3, 0.35, 0.36, 0.38, 0.4, 0.45, 0.5, 0.7, 1, 1.5] - пунктирные линии. Всюду Рис. 4. Эволюция эффективной энергии Em для на-чальных условий: Ф(0) = [-1.5, -1.47, -1.45, -1.425, -1.4, -1.25, -1, -0.7, -0.5, -0.25, -0.0001] - слева направо. Слева , справа Рис. 5. Эволюция космологического ускорения для начальных условий: Ф(0) = [-1.5, -1.47, -1.45, -1.425, -1.4, -1.25, -1, -0.7, -0.5, -0.25, -0.0001] - слева направо 2.2. Модель с параметрами: P = [-1,-1,0.1] На рис. 6 и 7 представлены фазовые траектории, полученные численным интегрированием динамической системы (1) - (3) с параметрами P = [-1, -1, 0.1], а на рис. 8 и 9 - графики эволюции эффективной плотности энергии и космологического ускорения . Всю-ду . В данном случае имеются лишь две особые точки: притягивающая точка и оттал-кивающая точка . Рис. 6. Фазовые траектории динамической системы (1) - (3) для параметров P = [-1, -1, 0.1] в плоскости на фоне карты особых точек при Рис. 7. Фазовые траектории динамической системы (1) - (3) для параметров P = [-1, -1, 0.1] на гиперпо-верхности Эйнштейна - Хиггса для начальных ус-ловий: = [-1.5, -1, -0.7, -0.5, -0.25, -0.0001] - сплошные линии, = [0.0001, 0.25, 0.5, 0.7, 1, 1.5] - пунктирные линии Рис. 8. Эволюция эффективной энергии для па-раметров P = [-1, -1, 0.1] и начальных условий = [ 0.0001, 0.25, 0.5, 0.7, 1, 1.5]. Всюду Рис. 9. Эволюция космологического ускорения для параметров P = [-1, -1, 0.1] и начальных усло-вий: = [ 0.0001, 0.25, 0.5, 0.7, 1, 1.5]. Всюду 3. Фазовые потоки модели с отрицательным значением космологической постоянной λm = -0.1 3.1. Модель с параметрами: P = [1,1,-0.1] На рис. 10 и 11 представлены фазовые траектории, полученные численным интегрированием динамической системы (1) - (3) с параметрами P = [1, 1, -0.1], а на рис. 12 и 13 - графики эволю-ции эффективной плотности энергии и космологического ускорения . Всюду . В данном случае имеются четыре седловые особые точки . Рис. 10. Фазовые траектории динамической системы (1) - (3) для параметров P = [1, 1, -0.1] в плоскости на фоне карты особых точек при Рис. 11. Фазовые траектории динамической системы (1) - (3) для параметров P = [1, 1, -0.1] на гиперпо-верхности Эйнштейна - Хиггса для начальных условий: = [-1.5, -1.47, -1.45, -1.425, -1.4, -1.25, -1, -0.7, -0.5, -0.25, -0.0001] - сплошные линии, = [0.0001, 0.25, 0.3, 0.35, 0.36, 0.38, 0.4, 0.45, 0.5, 0.7, 1, 1.5] - пунктирные линии Рис. 12. Эволюция эффективной энергии для параметров P = [1, 1, -0.1] и начальных условий: = [-1.5, -1.47, -1.45, -1.425, -1.4, -1.25, -1, -0.7, -0.5, -0.25, -0.0001]. Всюду Рис. 13. Эволюция космологического ускорения для параметров P = [1, 1, -0.1] и начальных условий: = [-1.5, -1.47, -1.45, -1.425, -1.4, -1.25, -1, -0.7, -0.5, -0.25, -0.0001]. Всюду 4. Анализ результатов Как можно видеть из фазовых портретов динамической системы в плоскости , пред-ставленных на рис. 1, 2, 6 и 10, для динамической системы (1) - (3) характерно расщепление фазо-вых потоков на два потока вблизи особых точек системы. Механизм расщепления потоков подо-бен действию подводных камней в быстром потоке реки, в котором роль камней играют особые точки, притягивая к себе фазовые траектории (притягивающие особые точки) или отталкивая их (седловые особые точки). При этом аналогия с водным потоком весьма близкая, учитывая то об-стоятельство, что фазовые траектории могут лишь скатываться «вниз» ( ), так что в модели с классическим полем Хиггса переменная вполне играет роль уровня воды в этой аналогии. Трех-мерные фазовые портреты динамической системы на рис. 3, 7 и 10 наглядно демонстрируют сте-кание фазовых потоков динамической системы «вниз» по течению. Представленные результаты численного моделирования еще раз показывают эффективность анализа космологической модели с помощью исследования геометрии гиперповерхности Эйн-штейна - Хиггса, играющей роль геометрии рельефа местности, с помощью которой можно легко прогнозировать глобальное поведение космологической модели.

Скачать электронную версию публикации