Abelian groups, fully transitive respect to functions.pdf Рассматриваются функции, отображающие абелеву группу в нижнюю полурешетку и обладающие рядом естественных свойств, обобщающих свойства индикаторов элементов />-групп, характеристик элементов групп без кручения и высотных матриц элементов смешанных групп. С помощью введенных понятий (групп, вполне транзитивных относительно рассматриваемых функций и ^ -групп) получены результаты о строении вполне характеристических подгрупп и их решеток для фг-групп. Применяя эти результаты к абелевым ^-группам и группам без кручения, получаем информацию о вполне характеристических подгруппах и их решетках для исследуемых групп. Пусть А - абелева группа, L - нижняя полурешетка и - функция со следующими свойствами: 1) cpL(r/a)>(pL(a) для всякого аеА и любого эндоморфизма "л группы А; 2) ф^а+Ь)>ф^(а)лф^Ь) для любых а,ЬеА; 3) фД0)>/ для всякого leL. Пусть leL и А(1)={аеА | ф^а)>1}. Лемма 1. А(1) - вполне характеристическая подгруппа группы А и если существует 1=^Ша) | аеА(1)}, то А(1)=А(А). Доказательство. Если а,ЬеА(1), то -ЬеА(1), так как существует уе. /•.'(. I) такой, что yg=-g для всякого элемента geА. Поэтому ф^-Ь)>ф^Ь)>1. Имеем ф^а-Ь^фь^лф^-Ь^фь^лфьф)^. Значит А(1) - подгруппа группы А. Если цеЕ(А), то ф/Хла)>ф/Ха)>1, и поэтому цаеА(Г). Итак, А(1) - вполне характеристическая подгруппа группы А. Пусть существует ДИп^ф^а) | аеА(1). Очевидно, А(1)сА(11). Покажем обратное включение. Так как для всякого аеА(1) фДа)>1, то l\>l. Пусть аеА(^), тогда ф1^(а)>11>1, и, значит, аеА(1). Итак, А(11)сА([) и поэтому А(11)=А(1). Пусть для абелевой группы А и нижней полурешетки L задана функция фгА^-Ь, удовлетворяющая свойствам 1)-3), и пусть для каждого непустого подмножества А' множества А существует элемент тАег такой, что тА=\п£ь{фь(а') | а' еА'}. Пусть Мь(Л)={тА | А'сА и А'Ф0}. Лемма 2. МЬ(А) - полная решетка. Доказательство. Покажем, что всякое непустое подмножество множества МЬ(А) имеет точную нижнюю грань. Пусть МсМь(А), М^0. Запишем М в виде М={mАi}}iel, где для всякого iel- непустое подмножество множества А. Пусть . Г = [J ■!,. Тогда iel {фl (а')|а' е А'} =U{фL (а> )|аt е А,}, iel причем 24 mАi=iиfi{фi(аi) | аiеА} и существует m=infL{фL(а') | а' еА'}. Тогда т = infL {тА, }е [1, с. 10, теорема 4] и так как теМь(А), то m=infМг (А) {тА, }е . МЬ(А) имеет наибольший элемент фДО). Поэтому М.А) - полная решетка [1, С. 37, теорема 1]. Определение 1. Назовем абелеву группу А фь-группой, если всякая ее вполне характеристическая подгруппа S имеет вид 5=А(1), где feL. Определение 2. Абелеву группу А назовем вполне транзитивной относительно функции фг, если для любых двух ее элементов а, Ь, для которых фь(а)1. Отсюда ЬеАф, и так как А(l)=S, то ЬeS. Противоречие. Напомним, что частично упорядоченные множества Р и Р' называются изоморфными (антиизоморфными), если существует биективное отображение ф множества Р на множество Р' такое, что аinfLM1 следует существование в М1 такого конечного подмножества М2, для которого u>infLM2. Пусть А - абелева группа, L - нижняя полурешетка и фьА^-Ь - функция со свойствами 1)-3). Если М - некоторое подмножество множества L, то обозначим через А(М) подгруппу группы А, порожденную всеми такими элементами а е. I. для которых существует meM, что ф^а)^. Понятно, что А(М) - вполне характеристическая подгруппа группы А. Пусть ф^(А)={ф^(а) Теорема 2. Если абелева группа А является (р-, -группой, где L - полная нижняя полурешетка, то множество ф^(А) обладает свойством конечной сравнимости в L. Доказательство. Пусть А - ф^-группа, М=фь(А), М1сМ, |М11 >Х. неМи Существует элемент ЬеА такой, что фьф)=и. Рассмотрим вполне характеристическую подгруппу А(М1) группы А. Так как А - ф^-группа, то A(M1)=A(v), где veL, причем по лемме 1 в качестве v можно взять ш^ф/О 1sea(M1)}. Имеем inf^s) 15e4(M1)}=infLM1. Тогда A(M1)=A(infM1). Так как ф^^п^М, то beA(M1) и поэтому b=b1+.bn, где фь(Ь))>>ь vieM1, i=1,...,n. Отсюда получаем и =фь (b) > inf^b )}.=- >. Значит, в М1 есть конечное подмножество M2={v,),=i„ такое, что //2лпГ\ /2. Рассмотрим абелевы р-группы. Пусть А - абелева р-группа. Обозначим через НА множество всех возрастающих последовательностей порядковых чисел, меньших длины группы А и символов да, полагая, что да больше любого порядкового числа (если a=(a0, ab..., an,...)e НА и an^x), то an

Скачать электронную версию публикации