Extreme problems in the class of mapping with symmetry of carry.pdf Область D комплексной w-плоскости будем называть областью с симметрией переноса вдоль вещественной оси на вектор Т, Т>0, если D=L(D), где L(w)=w+T. Каждая область с симметрией переноса не-ограничена и конечна. Бесконечно-удаленная точка ^ад=ад может быть телом одного или многих простых концов границы области D. При преобразованиях L(w)=w+T области D возможны только два варианта: в среди всех простых концов неподвижными могут быть либо один простой конец, либо два простых конца. В первом случае область D будем называть областью типа полуплоскости, во втором - типа полосы. В дальнейшем будут рассматриваться только односвяз-ные области с симметрией переноса вдоль вещественной оси типа полуплоскости. Пусть n={zeC:Imz>0} и D есть односвязная область с симметрией переноса вдоль вещественной оси на вектор Т типа полуплоскости. По теореме Римана существует однолистное голоморфное отображение /П^С такое, что _/(n)=D. Отображение f будем называть отображением с симметрией переноса вдоль вещественной оси на вектор Т. Отметим, что для каждого отображения f с симметрией переноса вдоль вещественной оси на вектор Т, Т>0, существует вещественное число t, t>0, такое, что J(z+kt)=J(z)+rT, keZ. Действительно, обозначим через ф отображение, обратное к отображению f Пусть w0=f(z0), где Zoen. Композиция ф(ДХ)+Т) является автоморфизмом верхней полуплоскости и, следовательно, ф(/(1)+Т)= =az+d, где а и d - вещественные постоянные. Полагая z=z0 и ф(^0+Т^(+, находим а=1 и d=t. Таким образом, fz+t)=f(z)+T. По индукции устанавливаем требуемое равенство. Обозначим через Х,Т множество всех голоморфных однолистных в верхней полуплоскости отображе-ний/П^С, удовлетворяющих условиям: 1) f(n)=D есть односвязная область с симметрией переноса вдоль вещественной оси на вектор Т, Т>0, типа полуплоскости; 2) f (z + kt) = f (z) + кТ, k e Z; 3) lim (f(z) - z ) = 0, где y=Imz. y^+ад Теорема 1. Класс Х,Т обладает следующими свойствами. 1. Для каждого feXtj и каждого meR отображение _4:П^-С, fm(z)=f(z+m)-m принадлежит классу Х,Т. 2. Для каждого feX,Т и каждого ре [0;+ад) отображение fp:n^C,fp(z)=ftz+ip)-ip принадлежит классу Х,т. 3. Для каждого отображения fXtj выполняется равенство t=T. Доказательство. Голоморфность и однолистность отображений/я иfp очевидны. Для каждого keZ имеем fm(z+kt)=f(z+m+kt)-m=f(z+m)+kT-m=fm(z)+kT, fp(z+kt)=f(z+ip+kt)-ip=f(z+ip)+kT-ip=fp(z)+kT. Проверим третье условие принадлежности отображе-нийfm иfp классу Х,т. Для отображенияfm имеем lim (fm(z) -z)= lim (f (z + m) -m - z) = y^+ад y^+ад = lim (f (z + m) - (z + m)) = 0. Im(z+m)=y^+ад Аналогично для fp\ lim (fp (z) - z) = y^+ад y lim (f (x + iy + ip) - ip - x - iy) = y^+ад = lim (f (x + i(y + p)) - (x + i(y + p))) = 0. p+ y^+ад Значит, fmeXtj и fpeXtj. По второму условию принадлежности отображения f классу Х,Т имеем lim (f (z+t)-(z+t))= lim (f (z)-z+T -t )=Т -t. y^+ад y^+ад С другой стороны этот предел должен равняться нулю. Теорема 1 доказана. В дальнейшем для определенности и простоты полагаем t=T=% и переобозначим Х,Т=Х%. Таким образом, изучается класс Хж всех голоморфных однолистных в верхней полуплоскости ото-бражений/П^С, удовлетворяющих условиям: 1) fP)=D есть односвязная область с симметрией переноса вдоль вещественной оси на вектор Т=ж типа полуплоскости; 2) f (z + Ы) = f (z) + кж, к е Z; 3) lim ( f(z) - z ) = 0, где y=Imz. y^+ад Из теоремы о сходимости последовательности областей к ядру следует, что отображения f из класса Хж, удовлетворяющие дополнительному условию Of (П )= =Uy j , где у/, есть попарно непересекающиеся простые ке z кривые, уходящие на бесконечность, образуют плотный подкласс Х„" в классе Хж. В [1] показано, что для каждого отображения feХЖ ' существует числовое непрерывное отображение X:[0;+»)^R, Х(т) такое, что f (z )= =lim (^ (z ,т )-ix), где C(z/c) является решением дифференциального уравнения 5q(z,т) Х(т) -q( z, т) (1) = ctg От 2 с начальным условием ^(z,0)=z. Можно доказать, что для каждого кусочно-непрерывного отображения X отображение f (z) = lim(C( z, т) - iT) т^+ад принадлежит классу Хж (здесь C(z/c) является решением дифференциального уравнения (1)). Таким образом, все кусочно-непрерывные отображения X порождают плотный подкласс Хж', при этом Хя''сХ„'сХя. Известно, что при рассмотрении экстремальной задачи на некотором классе достаточно решить ее на плотном подклассе. Рассмотрим на классе Хл два функционала h=h(f)=f(z)-z, /2=/2(/)=1п/'(z), где z - фиксированная точка из верхней полуплоскости. В силу первого свойства класса Хл справедливы равенства: fm(z)-z=f(z+m)-(z+m), lnfm'=lnf(z+m). Полагая в них m=-Rez, получаем, что множество значений функционала IT(f) (I2(f)) совпадает со множеством значений функционала I\(f)=f(iy)-iy (12(/)=1п/(у)), гдеy=Imz. Теорема 2. Область значений функционала I\(f)= =f(iy)-iy на классе Хл принадлежит кругу К,: 2Im s d Re q=Ti""^dp, Re q(y x(p)) p=b = l-p -i 8+f Подставив s = e v "7, получим -2cos 8 dp , Re q(iy,0) = 0 . l - p2 Отметим сначала, что Re^(/y,x)=0 для 8 = -j и 3л 8 = -, и поэтому из равенства d Re q = II, -i{y + 1n(l-b2))| X(x)=Re^(/y,x)+i1ns(/y,x) < 1ncthy, где b=ey. имеем Доказательство. Запишем уравнение (l) в виде dq _ l + ps dx l - ps' 3ei-e [ 2 X(x) = i 1n s(iy, x) = i 1n = -8 - (2) где p(x)=e"Im^(x), s(x)=e-(X(x)-Rs

Скачать электронную версию публикации