About one class of mixed abelian groups.pdf В последнее время возрос интерес к смешанным абелевым группам и их кольцам эндоморфизмов. Согласно определению смешанной группы, такая группа содержит как ненулевые элементы конечных порядков, так и элементы бесконечного порядка. В ряде статей рассматривались смешанные абелевы группы, лежащие между суммой и произведением своих р-компонент. Чтобы дать точное определение таких групп - основного объекта изучения в нашей статье - приведем некоторые определения и обозначения. Все группы, встречающиеся в статье, - абелевы. Буква р обозначает простое число. Если К - группа, то Ар -ее р-компонента, т.е. наибольшая подгруппа в А, являющаяся р-группой. Далее, Т(А) - периодическая часть группы А - совокупность всех ее элементов конечного порядка. Известно, что Т (А) © А . Считаем, что А р редуцированная смешанная группа, имеющая бесконечное число отличных от нуля р-компонент. Назовем SP-группой такую группу А, что естественное вложение © А ^ А продолжается до сервантрр ного вложения А ^Д Ар. Тогда для SP-группы А р можно считать, что © Ар с А с Д Ар, причем А серрр вантна в Д Ар. Здесь и далее подразумевается, что р р пробегает множество всех простых чисел, относящихся к А, т.е. множество всех р, для которых Ар^0. SP-группы изучались или появлялись в [1-5]. Основной результат §1 - теорема 1.5 - содержит характеризации самомалых SP-групп. В §2 показывается, что каждую SP-группу можно наделить структурой модуля над некоторым (довольно специфическим) кольцом. Это дает другие средства для изучения SP-групп (теорема 2.2). Пусть А - группа. Тогда Е(А) - кольцо ее эндоморфизмов; г(А) - ранг группы А; © А - прямая сумма ЭТ эт копий группы А (ЭТ- некоторое кардинальное число); N -множество натуральных чисел; Z - кольцо целых чисел; Q - аддитивная группа (или поле) рациональных чисел. Группа А называется ограниченной, если порядки ее элементов ограниченны в совокупности. §1. Условия конечности для SP-групп Лемма 1.1. [5]. Следующие свойства смешанной группы А эквивалентны: 1) для каждого р имеет место прямое разложение А =Ар©Вр для некоторой группы Вр с рВр=Вр; 2) справедливы сервантные вложения © Ар с рр с А с Д Ар, т.е. А - SP-группа; 3) справедливы вложения © Ар с А сД Ар и рр А/Т(А) - делимая группа. Класс всех SP-групп необозрим. Для получения содержательных результатов рассмотрим некоторые условия типа конечности. Для группы А положим Е(А) Нот(А,Т(А)), Е(А)={аеЕ(А) I аА содержится в сумме конечного числа компонент Ар} и ЕЬ(А)= ={ае(А) I аА - ограниченная группа}. Здесь Е(А), Е/(А) и Е^А) - идеалы кольца Е(А), причем Е,(А)сЕ(А)сЕ(А). Пусть F - свободная подгруппа SP-группы А, порожденная максимальным независимым множеством ее элементов бесконечного порядка. Подгруппу F назовем существенной свободной подгруппой группы А. Отметим, что А/F - периодическая группа. Для каждого р по лемме 1.1 имеем А=Ар©Вр с рВр=Вр, где слагаемое Вр находится однозначно. Обозначим через лр проекцию А^Ар с ядром Вр. Лемма 1.2. Делимость р-компоненты фактор-группы А/F равносильна делимости фактор-группы А/л^. Доказательство. Предположим, что р - компонента фактор-группы А/F является делимой группой. Тогда для каждого neN имеем рг(А/Е)=А^ или pnА+F=А. Запишем А=АР©ВР. ТогдарпАр+рпВ^=Ар©Вр ирАр+Вp+F= =АР+ВР и для аеАр получаем а=рпа+Ьп+сп, где апеАр, ЪпеВр, cneF. И далее, лр(а)=л/р "a„)-hrcp(c„) или а= =р"ап+к(с„). Это означает, что Ар=рпАр+л1р. Следовательно, А/л^ -делимая группа. Пусть А/лрЕ - делимая группа. Из доказанного видно, что нужно установить справедливость равенства рпАр+ +В^=Ар+Вр для любого neN. Для этого достаточно, чтобы АрсрпАр+Вр+^ Имеем Ар=рп+л1^. Осталось проверить, что лpFсВp+F. Возьмем элемент ceF и представим с+а+Ь, где аеАр, ЪеВр. Тогда лр(с)=лр(а)=а, с=лр(с)+Ъ, лp(c)=n-Ъ+ceВp+F. Значит, лpFсВp+F, чем доказательство леммы закончено. Предложение 1.3. Следующие свойства SP-группы А эквивалентны: 1) Е(А)=Е(А); 2) выполняется естественный изоморфизм Нот(А, Т(А)) = © Нот(А, F ); р 3) если М - периодический эпиморфный образ группы А, то М есть прямая сумма делимой группы и конечного числа редуцированных р-групп; 4) для каждой существенной свободной подгруппы F группы А фактор-группа А/лF делима при почти всех р. Доказательство. Свойства 1) и 2) эквивалентны всегда. 1) ^ 3). Допустим напротив, что нашлась подгруппа А ^ G такая, что - = © Ct © V, где C - редуцированная р- G '-1 группа V - различные простые числа), V - дополнительное слагаемое. Имеем Ар. Ф 0, поскольку в противном случаерА=А ир(АЮ)=АЮ, что невозможно. Для каждого i существует ненулевой гомоморфизм у: Ct ^ Ар,. Пусть у - гомоморфизм AIG^ ^Т(А), совпадающий с щ на С, и аннулирующий V, а лА^АЮ - канонический эпиморфизм. Тогда упеЕ^А), но уп^Е/А), что противоречит 1). 3) ^ 4). Возьмем некоторую существенную свободную подгруппу F группы А. На основании 3) почти все р-компоненты группы АIF делимы. Учитывая лемму 1.2, получаем 4). 4) ^ 1). Предположим существование такого ф е что q&EfA). Тогда образ фА будет суммой бесконечного числа ненулевых редуцированных р-групп. Из А1кегф^фА следует, что то же верно для А1кегф. Ядро кегф содержит некоторую существенную свободную под-группу F группы А. Поскольку А1кегф является го-момор-фным образом группы А/F, то последняя также имеет бесконечно много ненулевых редуцированных р-ком-понент. Но ввиду леммы 1.2 и 4) это невозможно. Значит, 1) выполняется. Предложение доказано. В книге [2] сформулирована такая проблема 44 -«Исследовать группы А со следующим свойством: если А содержится в прямой сумме редуцированных групп, то существует neN такое, что пА содержится в прямой сумме конечного числа этих групп». Следуя [6], группы со свойством, описанным в проблеме 44, назовем Фукс-44 группами. Предложение 1.4. Пусть А - SP-группа. Следующие утверждения эквивалентны: 1) Е(А)=ЕЪ(А); 2) ЕДА)=ЕДА) и каждая компонента Ар - ограниченная группа; 3) если М - периодический эпиморфный образ группы А, то М есть прямая сумма делимой и ограниченной групп; 4) А является Фукс-44 группой; 5) для каждой существенной свободной подгруппы F группы А равенство прЕ=Ар верно для почти всех р и каждая Ар - ограниченная группа. Доказательство. 1) ^ 2). Компонента Ар совпадает с образом проекции лрА^Ар. Значит, преЕЪ(А) и Ар -ограниченная группа. Из ЕЪ(А)сЕ/А)сЕ^А) и 1) получаем Е(А)=Е(А). 2) ^ 3). Пусть подгруппа ЮсА такова, что А/G - периодическая группа. Ввиду предложения 1.3 можно написать А/Ю=0®М\®.. ,®Мк, где D - делимая группа, Mi - редуцированные р-группы. Положим Т=Т(А). Из 2) и изоморфизма (G+T)/G=T/(Gf) 7) выводим ограниченность каждой р-компоненты группы (G+T)IG. Рассмотрим еще один изоморфизм (АЮУ(Ю+Т)Ю= гА!(Ю+Т). Группа, стоящая здесь справа, является делимой периодической в силу того, что А/G - периодическая, а А/Т - делимая группы (лемма 1.1). Отсюда понятно, что редуцированные части р-компонент группы А/G, т.е. груп-пы Mb...Mfc должны быть ограниченными, что дает 3). Равносильность 3) и 4) для произвольной группы А установил А.В. Иванов [6, теорема 1.3]. 3) ^ 5). Каждая группа Ар является ограниченной как периодический эпиморфный образ группы А . Возьмем некоторую существенную свободную подгруппу F группы А. По предложению 1.3 А^п^ - делимая группа для почти всех р. Вместе с ограниченностью групп Ар это влечет Ар/пр^ = 0 и лрР=Ар для почти всех р. 5) ^ 1). Пусть аеЕ,(А). По предложению 1.3 аеЕ-(А), т.е. аА лежит в сумме конечного числа слагаемых Ар Но все Ар - ограниченные группы. Откуда аА -ограниченная группа и аеЕЪ(А). Предложение доказано. Модуль А над некоторым кольцом называется малым, если для каждого гомоморфизма а А Ci, где Ci iel произвольные модули, существует конечное подмножество Jc/ со свойством а А с ® C t. Малые абелевы групieJ пы совпадают с конечно порожденными группами. Чтобы получить более широкое понятие, условимся малой группой называть группу А , удовлетворяющую записанному выше условию для а относительно любых редуцированных групп C. Из [6, теорема 1.3] следует, что малая группа является Фукс-44 группой. Группа А называется самомалой, если образ всякого гомоморфизма А ^ ® А (ЭТ- произвольный кардинал) содержится в сумме конечного числа слагаемых А. Теорема 1.5. Следующие условия для SP-группы А эквивалентны: 1) А - самомалая группа; 2) Е(А)=ЕЪ(А) и каждая компонента Ар - конечная группа; 3) А - малая группа; 4) если М- периодический эпиморфный образ группы А, то М есть прямая сумма делимой и конечной групп; 5) для каждой существенной свободной подгруппы F справедливо прЕ=Ар при почти всех р и каждая Ар - конечная группа. Доказательство. 1) ^ 2). Прямое слагаемое самомалой группы является самомалой группой. Поэтому Ар - самомалая периодическая группа. Откуда Ар конечная группа. Допустим, что аеЕ(А) и аеЕЪ(А). Этот а можно считать гомоморфизмом а : А А , образ которорр го не содержится в сумме конечного числа слагаемых Ар. Ввиду 1) образ любого гомоморфизма А А «о должен лежать в сумме конечного числа слагаемых А . Теперь, принимая во внимание то обстоятельство, что каждая группа Ар является прямым слагаемым группы А, видим, что существование гомоморфизма а противоречит 1). Следовательно, Е(А)=ЕЪ(А). 2) ^ 4). Периодический эпиморфный образ М группы А по предложению 1.4 является прямой суммой делимой и ограниченной групп. На основании конечности групп Ар из доказательства импликации 2) ^ 3) этого предложения можно вывести, что на самом деле М - прямая сумма делимой и конечной групп. 5) ^ 3). Пусть ст: А ^ © Ct - гомоморфизм, где Ct iel редуцированные группы. По предложению 1.4 А - Фукс-44 группа. Следовательно, существуют neN и конечное подмножество Jcl со свойством п(ст)А с © C. Обозначим iej буквой л проекцию суммы © C i на ее слагаемое © C i. ieJ iel-J Тогда п(лст)А=0, т.е. (лст)А - ограниченная группа. Найдется лишь конечное множество компонент АР с (лст)Ар/0. Все компоненты - конечные группы, поэтому (лст)А - конечная группа. Значит, имеется конечное подмножество Kcl-J, для которого (па) А с © Ct, от^да oic © Ct и А ieK 1 ./ /,' малая группа. 3) ^ 1) верно всегда и теорема доказана. Ранг фактор-группы А/Т(А) называется рангом без кручения группы А и обозначается г0(А). Таким образом, го(А)=г (А/Т(А)). Специфическим условием конечности для группы можно считать дискретность ее кольца эндоморфизмов относительно конечной топологии. Базис окрестностей нуля кольца Е(А) в конечной топологии составляют аннуляторы конечных подмножеств группы А [2, §107]. Предложение 1.6. Кольцо эндоморфизмов SP-группы А дискретно в конечной топологии тогда и только тогда, когда существует свободная подгруппа F конечного ранга группы А такая, что лPF=АP для почти всех p, а для остальных p, | АР |

Скачать электронную версию публикации