Classes of mappings with bounded in means distortion.pdf Пусть DcRn - область, п=3, 4, К и пусть отображение f.D^R" принадлежит соболевскому классу Wn,joc (D). Тогда почти всюду в D определены величины [1] |f'(х) = max| f'(x)h\, l( x,f) = min| f'(x)h\ , dft (x) dX : I i, J=1 , J (X, f) = det 2 V (dft (х)Л dX : V J а также характеристики отображения f. \ Vf (х) п 2 К (х, f) = If'(х)|' , МX, f) = п J (х, f)..... J (х, f)\' Эти локальные характеристики связаны между собой неравенствами kt (х, f) < к0 (х, f)п-1, к0 (х, f) < пп/2 Х(х, f) < < пп/2ко (х, f) < пп/2к, (х, f)п-1, к(х, f) < mink (х, f), ко (х, f)) < < к(х, f)п/2 < тах(к,(х, f),ко (х, f)) < к(х, f)п-1. Определение 1. Гомеоморфизм f. D ^ R называется. - ^-квазиконформным, 10 почти всюду в D . Если существует постоянная Qp,k>0 такая, что для любой точкиyeD', Р>п-1, то \1/( р+1) < Qp ,k s и ядро k(t) удовлетворяет в ограниченной области DcR" условию, J кs (s+i)/(s-s) (x - y|)dx < да для любого y e D . Тогда D Qs' с Qs'k. Предложение 6. Пусть p'>p. Тогда Qsk с Qk, где Предложение 7. Пусть p'>p. Тогда Q cQ (x - y| )d: если J к -p /(p'-p) (x удовлетворяет условию 1 Qs с Qs s' >s 2 q: с q: s' >s 3 Qs,к с Qs,к s' >s 4 б, с Qs, к s' >s Jks' (s+1»/(s,-s) (x-y|)dx < да D 5 Qs,к с Qs,к s' >s k1 (x - y| )= к s'/s ( x - y|) 6 Qs з Qs (k1/(s+1) (x - y|)) s' >s J к-s /(s,-s) (x - y )dx < да D 7 Qs з BL" p=n s=1/("-1) 8 Qs сВ!" p=n s>"-1 9 BL" г Qs p=" s=1/("-1) 10 Q^BL" p=" s>1 11 bl" с q: p=" s"-1 18 Qs*n Q сВ!"; Qs г BLp p>" s>"-1 k1 (x - y| )= к(s+1) s / s ( x - y|) . p', k' x < да для любого y e D . Доказательства предложений 4-7 проводятся как и доказательство предложения 3. Результаты этих предложений и сравнение класса отображений с ограниченным в среднем искажением с классом BLp отображений с p-ограниченным Дирихле и с ограниченным потенциалом градиента приведём в таблице (определение в [11 -14]). a, если a > 0 О, если a < 0. Все включения доказываются аналогично предложению 3. Предложения, сформулированные в пунктах 9, 13, 14, 16-20, доказываются с помощью примеров, подтверждающих, что соответствующие вклю-чения не имеют место. Рассмотрим, например, 16. Пусть р>п, 1/(n-1)< a0; a2+p2^0 и (r Ps-(x,дД)сЫ D s - s' 26 Q" с Q"/l>+1) (k) 1n-1; a>0 36 BLn с Qs,a P=n s=1/(n-1); a>0 37 BLn г Qs,a P=n s>1/(n-1); a>0 38 Qs'a с BLP P f (x) = ( xp Имеем l(f'(x)) = 1, j(x, f) = K, (x, /) = xf, К (x, /) = If '(x)п x-Рп , ч -1W) = ^ = x^" lf'(x ) = x-'s, s> п - Выберем Р так, чтобы JK(x,f)• j(x,f)dx

Скачать электронную версию публикации