On the concurrence principle.pdf 1. Фильтры и направленные отношения В этой статье мы придерживаемся теоретико-множественной модели Робинсона-Закона [1]. Несмотря на разработку различных версий нестандартного анализа [2, 3], эта модель остается удобным орудием исследования в различных областях математики [4]. В модели Робинсона-Закона принцип направленности играет существенную роль, аналогичную роли аксиомы идеализации в теории внутренних множеств Нельсона [5]. Нашей целью является формулировка и доказательство необходимых и достаточных условий выполнения принципа направленности (в слабой форме) в модели Робинсона-Закона для всех направленных отношений, определенных на заданном множестве, а также необходимых и достаточных условий выполнения принципа направленности для всех направленных отношений в данной суперструктуре. Подробное обсуждение принципа направленности, как и других принципов нестандартного анализа содержится в [2]. Мы лишь бегло перечислим используемые нами обозначения, относящиеся к рассматриваемой модели. Пусть S есть ,бесконечное множество. Положим: V0(S) = S,...,Vn+1(S) = Vn(s)UP(Vn(S)l СО п=1 Будем называть Vn(S) п-м этажем суперструктуры V(S). Пусть F есть свободный ультрафильтр (будем называть его базисным фильтром). Для каждого п натурального через *V„(S) обозначим ультрастепень множества Vn(S) по F. Наконец, обозначим: со п=1 Множество * Vn(S) назовем п-м этажом универсума * V(S). Пусть AeV(s), г(ху) есть А-направленное бинарное отношение на AxA. Тогда г следующим образом порождает фильтр на A. Для каждого хеА определим множество Ах={уеА | г(ху)}. Нетрудно видеть, что это семейство центрированно, и, следовательно, порождает некоторый фильтр над А. Обозначим этот фильтр через Fy. Фильтр F над множеством Т называется а-регулярным, если существует такое подмножество EcF, что каждое te Т принадлежит лишь конечному числу множеств eeE, и мощность E равна а [6]. Теорема 1.1. Пусть А - множество мощности а. Тогда на АхА существует А-направленное отношение г0, такое что порожденный этим отношением фильтр а-регулярен. Доказательство. Обозначим через В множество всех конечных подмножеств множества А. Пусть теВ. Положим: Bx={t | Tct}. Множество Е={Вт | теВ} центрировано, поэтому оно порождает некоторый фильтр SM(B). С другой стороны, для каждого 6еВ имеем 6еВт если и только если тсб. Следовательно, 9еВт лишь для конечного числа множеств Вт. Наконец, мощность Е равна а, поэтому фильтр S^) а-регулярен. Зададим на А бинарное отношение г0. Множество В равномощно А. Рассмотрим биек-цию ф:В^А. Для х,уеА положим: П)(х,у)=1»ф(х)сф(у). Нетрудно видеть, что отношение г0 центрировано. Фильтр F, индуцированный этим отношением, является образом фильтра S^), следовательно, а-регулярен. Введем в классе фильтров отношение порядка по Рудину-Кейслеру. Пусть фильтры F и Ф заданы на А и В соответственно. Говорят, что F тоньше Ф, F/•',. Это означает, что существует сюрьекция ф:Т^А, такая что VB е ЕЯ(ф-1(В) е F). (1) Обозначим класс эквивалентности по фильтру F, содержащий ф, через ф. По определению внутреннего универсума *V(S), имеем фе *V(S). Покажем, что для всех хеА имеет место *г (х*, ф) = 1. Действительно, * г (х*, ф) = 1» { е Т | г (х, ф(/)) = 1}е F . (2) По определению Ах, г(х,ф(/))=1»ф(/)еАх. Поэтому * г(*х, ф) = 1»{t е Т | ф(/) е Ах }е F » »ф-'(Ах) е F. (3) Так как по построению Fy, AхеFy, то, в силу (1), ф-1(AхеF). Поэтому из (2) и (3) следует: *г (х*, ф) = 1. б) Необходимость. Пусть принцип направленности для г имеет место, т.е. существует у0е*А такое, что г(*х,у0)=1 для всех хеА. Выберем в классе эквивалентности у0 некоторую функцию ф:Т^А. Пусть хеА. Имеем:{/еТ| г(х,ф(/))=1}е^ Далее: фЧ(Ах)={^е Т | ф(/)еАх}={/е Т | г(х,ф(1))=1} еF. Итак, для всех хеА имеем ф-1(Ах)еК Т.к. фильтр Fy порожден семейством {Ах |хеА}, то и для каждого А еFy имеем:

Скачать электронную версию публикации