Dynamic model of investments portfolio selection by quadratic risk function.pdf 1. Динамическая модель инвестиционного портфеля. Рассмотрим инвестиционный портфель, состоящий из п видов рисковых вложений (под рисковыми будем понимать инвестиции, доходность которых -случайная величина [1-3]) и безрискового вклада с неслучайной, но возможно переменной доходностью. Капитал, помещенный в /-й рисковый актив в момент времени к равен и(к), /-1,2,...,и; в безрисковый -и0(к). Тогда общий объем вложений (портфель) в момент к будет равен: (1.1) V (к )=£и, (к )+и0(к). В момент времени к+1 капитал, вложенный в безрисковый актив станет равен (рассматривается самофинансируемый портфель): ¥о(к +1) = [1 + г (к + 1)]ио(к), а в -й рисковый актив: Yt (k + l) = [l + Vi(k + 1)]и, (к), i = \2,...,n, где v ,(к+1) - ставка доходности рисковых вложений на интервале [к, к+1], случайная величина; г(к+1) -неслучайная доходность безрисковых вложений. Условие самофинансируемости портфеля означает, что должно выполнятся равенство: Си(к) = CY (к) = V (к), (1.2) где С = [1, 1, (1.3) 1] - вектор размерности п+1, и(к)=[и0 (к),и1 (к),и2 (к),.. 41п (к) J, Y(k) = [Y0(к),7,(к),Y2(к),...,Yn(k)J . Состояние портфеля в момент времени к+1 опре деляется уравнениями: Y (к +1) = D(h + 1)и(к) Си (к) = CY(к) = V(к). "1 + г(к) 0 ... О где D(k) = 1 0 О 0 ... 1 + vn(k)_ В начальный момент времени капитал инвестора равен V(0). Решение уравнения (1.2) относительно вектора и(к) имеет вид [4]: и(к)=С^(к)+См(к), (1.4) где С# - псевдообратная матрица, С# =СТ (ССТ )-1; I - единичная матрица размерности п+1; v(к) - произвольный вектор соответствующей размерности, С = (I - С*С). Подставляя вектор управления (1.4) в уравнение портфеля (1.3), получим: Y (к+1)=D^+1)С #СY (к )+D^+1)^(к). (1.5) Домножая левую и правую части (1.5) слева на вектор С и используя (1.2), запишем уравнение динамики капитала управляемого портфеля: V (к +1)=CD(к+1)C V (к ^D^+1)Ъ(к). (1.6) В (1.6) в качестве вектора управлений будем рассматривать вектор v(^ (назовем его псевдоуправлением). Определим стратегию управления портфелем путем перераспределения капитала между различными видами инвестиций так, чтобы капитал управляемого портфеля с минимально возможными отклонениями (с минимально возможным риском) следовал капиталу некоторого определяемого инвестором эталонного портфеля с доходностью |а°(к)>г(к), т.е. чтобы его капитал рос по закону: V 0(к +1) = [1 + | 0(к + 1)]V 0(к). (1.7) Уравнение (1.8) описывает динамику эталонного портфеля. В начальный момент времени V°(0)=V(0). В качестве меры риска выберем функционал: J =М Mv (к )-V 0(к )]2 +vt (к )Я(к Мк))+ [к=0 (1.8) +[V (Т )-V 0(Т )]2}, где Р(к)>0 - диагональная матрица соответствующей размерности. Задача состоит в минимизации критерия (1.8) по переменным v(к), /=0,1,2,...,п при динамических ограничениях (1.6), (1.7) и ограничениях на первоначальные управляющие переменные: и t(к) > 0, /= 0,1,2,...,п . (1.9) 2. Определение оптимальной стратегии управления. Рассмотрим один из возможных подходов к решению сформулированной задачи. Для описания эволюции цен рисковых финансовых активов используем модель вида S t (к +1) = S t (к)[1 +1 (к +1) + £ а,, (к +1) х j=1 х w (к +1)] где ж,(к) - некоррелированные гауссовские случайные последовательности с нулевыми средними и единичными дисперсиями, |(к)>г(к), ау(к)>0, /=1,2,.,п. Данн^ге уравнения представляют собой дискретизованные аналоги геометрического (экономического) броуновского движения, модели которого обычно используются в финансовой математике для описания эволюции цен рисковых финансовых активов [5-7]. Таким образом, доходность -го рискового актива определяется уравнением v, (к +1) = ц, (к +1) + £ а,, . (к + 1)w . (к +1). (2.1) j=1 Определим вектор-столбец х(к) = [v(к), V0(к)]" учетом (2.1) представим уравнения динамики реального и эталонного портфелей в виде: х(к+1)= А(к+1) х(к )+£w,, (к+1)Д (к+1) х(к)+ CD (к)С* =1 + В(к + 1)у(к) + £ w , (к +1)5,. (к + 1)у(к), (2.2) =1 где матрицы А(к )= О CD, (к )С# О О О CD (к)С В(к )= ; В,. (к )= О 1+ц (к) А,, (к )= CD, (к )С О. „ Ои+1 = [О, О,..., О] - вектор размерности п+1; D,(к)=diag{a1,,; а2,,; ...; ап,}; D (к )=diag{1+r (к );1+ц1 (к );1+ц2(к );...;1+ц п (к)}. Функционал (1.9) запишем следующим образом: (2.3) j = м \ £ [ хт (к )ИтИх(к) + vr (к )Я(к )у(к)] + + хт (Т )hT кх(Т)}, где h=[1, -1]. Система (2.2) относится к классу систем со случайными параметрами (мультипликативными шумами). Вопросы синтеза управления для подобного класса систем рассматривались в [8-1О]. Эффективный и достаточно просто реализуемый подход к определению оптимальной стратегии уп-равления с обратной связью по квадратичному критерию для таких систем - синтез закона управления, оптимального в классе линейных у(к) = К (к) х(к), (2.4) где К(к) - матрица коэффициентов обратной связи выбирается из условия минимума функционала (2.3). Отметим, что в данной постановке на новые управления у(к) ограничения не накладываются, однако они должны выбираться так, чтобы выполнялись условия (1.1О) не отрицательности первоначальных управляющих переменных. Выполнение этих условий можно обеспечить подходящим выбором весовой матрицы К(к) в функции риска. Функционал (2.3) можно записать в виде: Г т-1 j=tr \ £[hThP(k )+Я(к) К (к )Р(к )КТ (к)]+ (2.5) +hThP(T)}, где матрица вторых моментов Р(к) = М {хт (к) х(к)} учетом (2.4) удовлетворяет уравнению Р(к +1) = [ А (к +1) + В (к + 1)К (к )]Р(к )[А(к +1) с (2.6) + В(к + 1)К(к)]т + £ [А, (к +1) + =1 В , (к + 1)К (к )]Р(к )[А, (к +1) + В, (к +1) К (к )]т. Оптимальную стратегию управления можно получить, переформулировав данную задачу управления 76 стохастической системой в виде эквивалентной задачи управления детерминированной системой, описываемой матричным уравнением динамики вторых моментов состояний (2.6), матрицей К(к) в качестве управляющих воздействий, критерием качества (2.5) и используя принцип максимума в матричной формулировке [11]. и с Решение задачи дают следующие уравнения: К (к) = -[Вт (к + 1)g(к + 1)В(к +1) + + £ В] (к + 1)g(к + 1)В, (к +1) + Л(к)]-1 х =1 х [В(к + 1)g (к +1) А (к +1) + + £ В,т (к + 1)2(к +1) А, (к +1)], =1 QQi) = [А (к +1) + В(к + 1)К (к )]т QQi +1) х х [ А (к +1) + В(к + 1)К (к)] + + £ [А, (к +1) + В, (к + 1)К(к)]т х =1 х 2(к + 1)[А, (к +1) + В, (к + 1)К (к)] + + Кт (к)К(к)К(к) + ^h, QV) = ^h. Исходный вектор управлений u(k) вычисляется по формуле: и (к) = С х(к) + Су(к), (2.7) где С =[С#, о]. Значение функции риска (2.5) на оптимальной траектории легко вычисляется. 3. Численное моделирование. Определим стратегию управления портфелем, состоящим из банковского счета доходностью г=О,О1 и трех видов акций, доходность вложений в которые описывается уравнениями вида (2.1) с параметрами: " О,О1 О,ОО5 О,ОО5" О,ОО45 О,О175 О,ОО45 О,ОО4 О,ОО4 О,О25 ц-i =О,О2; ц2=О,О3; ц3=О,О4. Доходность эталонного портфеля ц =О,О25. Численно была реализована стратегия управления вида (2.4), (2.7) с весовой матрицей .R=diag{0,02; О,О1; О,О1; 0,01}. Результаты численного моделирования представлены на рис. 1, 2, где на оси абсцисс указаны номера интервалов, на оси ординат - суммы вложений. Рис. 1 иллюстрирует динамику поведения эталонного и управляемого портфелей, на рис. 2 показано поведение управляющих переменных и0,их,и2,и3. Рис. 1. Динамика изменения капитала управляемого и эталонного портфелей: 1 - И(к), 2 - ^к) Рис. 2. Динамика вложений в рисковые активы: 1 - и1(к),2 - и2{к), 3 - и3 (к),4 - и0(к) 4. Заключение В данной работе предложена динамическая стохастическая модель формирования самофинансируемого инвестиционного портфеля, состоящего из рисковых и безрискового финансовых активов. Задача управления портфелем сформулирована как динамическая задача слежения за эталонным портфелем с заданной желаемой эффективностью. Предложен способ определения оптимальной стратегии управления. Отметим, что в рамках предлагаемого подхода можно решить задачу управления портфелем в случае, когда параметры модели, описывающей динамику цен рисковых активов, меняются скачкообразно, используя методы, обзор которых дан в [9]. Модель без принципиальных затруднений может быть обобщена на случай, когда возможны инвестиции заемных средств и использование части доходов на потребление.

Скачать электронную версию публикации