Nonholonomic rotation surfaces of zero total curvature of second kind.pdf Неголономную поверхность [1] мы рассматриваемкак совокупность всех интегральных кривых не впол-не интегрируемого уравнения ПфаффаP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz =0, (0.1)где P,Q,R - гладкие функции в некоторой области Gтрехмерного евклидова пространства, при этом2 2 20 P +Q +R  , M G . Интегральные кривыеуравнения (0.1), проходящие через точку M, касаютсяв этой точке одной плоскости, называемой касатель-ной плоскостью неголономной поверхности в точкеM. Прямая, проходящая через точку M перпендику-лярно касательной плоскости, называется нормальюнеголономной поверхности в точке M. Неголономнойповерхностью вращения называют [2] такую неголо-номную поверхность, все нормали которой пересека-ют неподвижную прямую (ось вращения). Если него-лономная поверхность является неголономной по-верхностью вращения, то через каждую точку M Gпроходят две линии кривизны 2-го рода. Вдоль однойиз них нормали к неголономной поверхности образу-ют конус с вершиной на оси вращения, и эта линияназывается параллелью. Вторая линия кривизны 2-города лежит в плоскости, проходящей через ось вра-щения, и называется меридианом. В данной работемы рассматриваем неголономные поверхности вра-щения, для которых полная кривизна 2-го рода [3]равна нулю.1. Теорема существованияВыберем декартов подвижной репер {M;e1,e2,e3},где e3 - единичный вектор нормали. Деривационныеформулы репера имеют вид,,iiji i jdr ede e= ƒ= ƒгде j iƒi= −ƒj, r - радиус-вектор точки M ,i,j =1,2,3. Формы Пфаффа ƒ3i,ƒi- главные формы,из них ƒi - базисные. Поэтому3i i jƒ = Ajƒ . (1.1)Неголономная поверхность определяется уравне-нием Пфаффаƒ3 = 0. (1.2)Направив вектор e1 по касательной к параллели,мы приходим к уравнениям230,0,ƒ =ƒ =(1.3)определяющим параллели. При этом 2A1 = 0 , 1A2 = ƒ ,1A1= −k1, 2A2= −k2, где ƒ - скаляр неголономности,k1 , k2 - главные кривизны 2-го рода. Кроме того,обозначим 1A3 = a , 2A3 = b . После этого формулы (1.1)принимают вид1 1 2 33 12 2 33 2,.k ak bƒ = − ƒ + ƒƒ + ƒƒ = − ƒ + ƒ(1.4)Обозначим через F вершину конуса, описываемо-го нормалями неголономной поверхности вдоль па-раллели. Тогда для радиус-вектора точки F имеем3F r 1ek= + ,где k1  0 . Так как вдоль параллели точка F непод-вижна, то dk1 зависит только от ƒ2 , ƒ3 , то есть2 3dk1 = ƒƒ + ƒƒ . (1.5)В выбранном репере меридианы определяютсяуравнениями( ) 1 21 230,0.k k − ƒ − ƒƒ =ƒ =(1.6)Направляющий вектор оси вращения относительновыбранного репера есть вектор1 (1 2)2 31p e k k e ekƒ= ƒ + − − . (1.7)Так как p - направляющий вектор оси вращения,то для него dp ⎢⎢ p . Это условие выполняется лишьтогда, когда1 2a bk kƒ=−, 211 2b kk kƒƒ = +−. (1.8)После соответствующих вычислений мы прихо-дим к следующим выражениям форм Пфаффа черезбазисные формы:( )1 1 2 33 11 22 2 33 21 1 2 32 11 12 131 22 2 31 11 2,,1 ,,k bk kk bk kdk b kk kƒƒ = − ƒ + ƒƒ + ƒ−ƒ = − ƒ + ƒƒ = ƒ ƒ + ƒ ƒ + ƒ ƒ−⎛ ƒ ⎞= ƒƒ +⎜⎝ − + ⎟⎠ƒ( )( ) ( )11 1 12 22 12 221 2 1 22 2 13 32 231 2211 12 131 2 1 212 2 13 32 23 2 331 2 1 2,,dk bk k k kb kk kdb b bk k k kb bk k k k⎛ƒƒ ⎞ ⎛ ƒƒ ⎞=−⎜⎝ − +ƒ +ƒ ⎟⎠ƒ−⎜⎝ − +ƒ ⎟⎠ƒ +⎛ ƒƒ ⎞+⎜⎝ + − − −ƒ ⎟⎠ƒ=⎛⎜ƒ + ƒ ƒ +ƒ ⎞⎟ƒ+⎜⎝ − − ⎟⎠+⎛⎜ ƒ ƒ +ƒ ⎞⎟ƒ +⎛⎜ ƒ ƒ +ƒ ⎞⎟ ƒ⎜⎝ − ⎟⎠ ⎜⎝ − ⎟⎠d bk kkk k k kb k b k bk k k k kbk k kd b kk kkk k k⎡ ƒ ⎤ƒ =⎢⎣ − ƒ + ƒ − ƒ +ƒ⎥⎦ƒ +⎡ ƒ ⎛ ⎞ ⎛ ƒƒ ⎞⎤+⎢⎣ − ⎜⎝ƒ +ƒ +ƒ ⎟⎠−⎜⎝ ƒ − ⎟⎠⎥⎦ƒ +⎡ ƒ ⎛ ƒ ƒ⎞+⎢⎣ − ⎜⎝ƒ − − + − + − ⎟⎠−⎛ ƒ ƒ ⎞⎤−⎜⎜⎝ƒ − − ⎟⎟⎠⎥⎥⎦ƒ⎡ ƒ ⎤ƒ =⎢⎣ − ƒ + ƒ + ƒ⎥⎦ƒ +ƒ ⎛+ ƒ +ƒ +ƒ−( )22 21 12 1 2122 2 2 123 2 11 2 1 2 1 1 2k kk k kkb k b k b k bk k k k k k k⎡ ⎞ ƒ ⎤⎢ ⎜ ⎟− ƒ + − + ⎥ƒ +⎣ ⎝ ⎠ ⎦⎡ ƒ ⎛ ƒ ƒ⎞ ƒ+⎢⎢⎣ − ⎜⎝ƒ − − + − + − ⎟⎠− − −( ) ( )231 1 2 11 1 2k k k b b k .k k kƒ ⎤− − + +ƒ ƒ ⎥− ⎥⎦(1.9)Полная кривизна 2-го рода K = k1k2 . Так какk1  0 , то K = 0 лишь при k2 = 0 . При этом условиииз (1.9) находим1 1 2 33 112 331 1 11 2 32 11 131 12 2 311211 1131 12 2 211 2 13 2 13 33 2 2 331 1 1 1211,,1 ,,,k bkbbk kdk b kkdb b bk kb b b bk k k kdƒƒ = − ƒ + ƒƒ + ƒƒ = ƒ⎛ ⎛ƒ ⎞ ⎞ƒ = ⎜⎜⎝ƒ ƒ −ƒ⎜⎝ + ⎟⎠ƒ + ƒ ƒ⎟⎟⎠⎛ƒ ⎞= ƒƒ +⎜ + ⎟ƒ⎝ ⎠⎛ ƒ ƒ ƒ ⎞=⎜⎜ + +ƒ ⎟⎟ƒ +⎝ ⎠⎛ ƒ ƒ ƒ ƒƒ ⎞ ⎛ ƒ ƒ ⎞+⎜⎜− − + − ⎟⎟ƒ + ⎜⎜ + ƒ ⎟⎟ƒ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ƒ ƒƒ = − 12 1113 311 11 23 21 1 1 1213 32 1 13 21 111 2 12 112 2 211 2 23 2 11 1 12,2kb bk k k kk bk kd kkb kk k k⎛ ⎞⎜⎜ − ƒ − ƒ⎟⎟ƒ +⎝ ⎠⎛ƒ ƒ ƒ ƒƒ ƒ ƒ ⎞+⎜⎜ + + + + ƒ⎟⎟ƒ +⎝ ⎠⎛ ƒ ƒ ƒƒ ⎞+⎜⎜− + ƒ − ƒ + ⎟⎟ƒ⎝ ⎠⎛ ƒƒ ƒ ⎞ƒ =⎜⎜− + ƒ⎟⎟ƒ +⎝ ⎠⎛ƒƒ ƒ ƒƒ ƒ ⎞+⎜⎜ + + − ƒ⎟⎟ƒ +⎝ ⎠213 2 2 31 2 1 21 12k b k b.k k⎛ ƒƒ ƒ ƒ ⎞+⎜⎜ƒ − −ƒ − ƒ+ ⎟⎟ƒ⎝ ⎠(1.10)Теорема 1. С произволом одной функции двух ар-гументов существуют неголономные поверхностивращения нулевой полной кривизны 2-го рода.Доказательство. Будем вести доказательствотеоремы методом Кэлера, используя обозначения,принятые в [4]. Следуя методу Кэлера, замыкаем ра-венства (1.10). В результате получим систему внеш-них дифференциальных уравнений вида:1 2 311 2 11 131 1 11 2 2 3 3 11 1 121 1 22 11 13 3 111 12 3 313 2 13 331 11 2 2 3 3 12 2 21 10,0,d d dk k kA B Cbd d bdk kd bd dk kA B Cƒƒ  ƒ − ƒ  ƒ + ƒ  ƒ ++ ƒ  ƒ + ƒ  ƒ + ƒ  ƒ =ƒ ƒƒ  ƒ + ƒ  ƒ − ƒ  ƒ −ƒ ƒ− ƒ ƒ + ƒ ƒ + ƒ ƒ ++ ƒ  ƒ + ƒ  ƒ + ƒ  ƒ =2 31 1 22 11 11 3 111 122 3 311 2 13 131 11 2 2 3 3 13 3 3 0,d d dk kd d dk kA B Cƒ ƒ− ƒ ƒ − ƒ ƒ + ƒ ƒ +ƒ ƒ+ ƒ ƒ − ƒ ƒ − ƒ ƒ ++ ƒ  ƒ + ƒ  ƒ + ƒ  ƒ =(1.11)где2 211 11 131 2 21 1 1 1 111 13 33 11 131 4 21 1 1 1 111 11 131 11 3 3 11 13 3 2 2 3211 11 112 3 2 2 3 41 1 1 1 1213 1313 21 12 2 2 ,2 2 ,2 ,2 2 222A b b bk k k k kB b b bk k k k kC b bkk kA b b b b bk k k k kb bk kƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ= + + − −ƒ ƒ ƒ ƒƒ ƒƒ ƒ ƒƒ= − − ƒ − + − −ƒƒ ƒƒ ƒ= − ƒ − − −ƒ ƒƒ ƒ ƒ ƒƒ ƒ ƒ ƒ=− + + + − +ƒƒ ƒ ƒ+ ƒ + − 332 2211 11 133 1 2 2 21 1 1 1 1 123 1 2111 13 33 11 134 21 1 1 1 1211 11 133 1 2 11 31 1 1, (1.12)12 2 2 ,12 2 ,1 2A k b b bk k k k k kB kkb b bk k k k kC k bk k k− ƒƒ⎛ƒ ⎞⎛ ƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ⎞= − ⎜⎜ + ⎟⎟⎜⎜ + + − − ⎟⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ƒ ⎞= − ⎜⎜ + ⎟⎟⎝ ⎠⎛ ƒ ƒ ƒ ƒƒ ƒƒ ƒ ƒƒ⎞⎜⎜− − ƒ− + − − ⎟⎟⎝ ⎠⎛ƒ ⎞ ƒƒ ƒƒ ƒ= − ⎜⎜ + ⎟⎟ − ƒ − −⎝ ⎠3 1 bk .⎛ ⎞⎜⎜ − ⎟⎟⎝ ⎠Пусть1 2 311 1 2 31 2 313 1 2 31 2 333 1 2 3,,.dddƒ = ƒ ƒ + ƒ ƒ + ƒ ƒƒ = ƒ ƒ + ƒ ƒ + ƒ ƒƒ = ƒ ƒ + ƒ ƒ + ƒ ƒ(1.13)Строим цепь интегральных элементовE1E2E3. Для E1 полагаем ƒ1= ƒ2= 0 . Величи-ны ƒ3,ƒ3,ƒ3 являются независимыми параметрами,т.е. характеристическое число r1 = 3 . Для E2 полага-ем ƒ2 = 0 . Получаем следующие соотношения:1 3 11 3 1 2121 2 1 31,,1 0,kCbC Ckk C Ckƒ = ƒ +ƒƒ = ƒ − +⎛ƒ ⎞⎜⎜ + ⎟⎟ + =⎝ ⎠(1.14)последнее из которых в силу (1.12) представляет со-бой тождество. Поэтому характеристическое числоr2 =1, а характер цепи s1=r1−r2= 2 . Подставляя(1.13) в (1.1), находим2 1 1 112 3 1 112 3 1 21 1,,.k Akk BkbB Bk kƒƒ = − ƒ +ƒƒ = − ƒ −ƒ ƒƒ = − ƒ + −(1.15)Кроме того, возникают соотношения21 2 1 3121 2 1 311 1 1 1 211 0,1 0,0,k A Akk B BkbA kB C Ak⎛ƒ ⎞⎜⎜ + ⎟⎟ + =⎝ ⎠⎛ƒ ⎞⎜⎜ + ⎟⎟ + =⎝ ⎠ƒ− + −ƒ + =являющиеся тождествами в силу (1.12). Из (1.14),(1.15) следует, что построенная нами цепь интеграль-ных элементов не особая, характеристическое числоr3 = 0 , характер s2=r2−r3=1. Так как сумма харак-теров цепи s1+s2+s3 равна числу неизвестныхфункций ƒ11,ƒ13,ƒ33 системы, т.е. s1+s2+s3=3 , тоs3 = 0 . Достаточный признак Кэлера выполнен. Ре-шение системы существует. А так как s2=1,s3=0 , тоэто решение имеет произвол в одну функцию двух ар-гументов. Тем самым доказано существование него-лономной поверхности вращения нулевой полнойкривизны 2-го рода. Широта класса таких неголоном-ных поверхностей - одна функция двух аргументов.2. Неголономные поверхности вращениянулевой полной кривизны 2-го рода,для которых оба семейства асимптотическихявляются прямыми линиямиТеорема 2. Существуют неголономные поверхно-сти вращения нулевой полной кривизны 2-го рода, длякоторых оба семейства асимптотических являютсяпрямыми линиями.Доказательство. Асимптотические линии него-лономной поверхности вращения данного класса оп-ределяются уравнениями( )1 2 1 2130,0.−k ƒ +ƒƒ ƒ =ƒ =(2.1)Как видим, система (2.1) определяет два семействалиний:130,0ƒ =ƒ =(2.2)и2 1130,0.ƒƒ − k ƒ =ƒ =(2.3)Касательные линии к семейству асимптотических(2.2) параллельны векторам e2 . Поскольку1 3112 0 11 1d e b eƒ =ƒ = k kƒ⎛ ƒ ⎞= − ⎜ + ⎟⎝ ⎠,вектор e2 ⎟⎟ de2 лишь тогда, когдаƒ11 = −bk1. (2.4)Касательный вектор к линии второго семейства(2.3) есть1 11 2dr e k e⎛ ⎞= ƒ ⎜⎝ + ƒ ⎟⎠⎢⎢ƒe1+k1e2.Асимптотическая линия семейства (2.3) будетпрямой линией, если1 23 02kd rƒƒ = ƒƒ =⎢⎢ dr ,то есть если1 21 2 1 11d k dkkƒ + ƒ ƒƒ +=ƒ.А последнее равенство выполняется приƒ11 = bk1. (2.5)Из (2.4) и (2.5) следуетƒ11 = 0. (2.6)Итак, для исследуемой здесь поверхности враще-ния 2 11 0 k = ƒ = . Кроме того, при 2 11 0 k = ƒ = из (1.9)имеем1222212 13231,,.bbkbkƒ = − ƒƒƒ =ƒƒƒ = −(2.7)Тогда из (1.10) имеем1 2 3k1ƒ2 +bƒƒ − ƒ13ƒ = 0. (2.8)Внешнее дифференцирование (2.8) приводит нас кследующему выражению:13 2 2 1 313 33 1 1121 212 0.d bk bkkb bk⎡ ⎛ ƒƒ ⎞ ⎤⎢ƒ +⎜ƒƒ − ƒ − ⎟ƒ + ƒ⎥ ƒ +⎣ ⎝ ⎠ ⎦⎛ ƒ ⎞+ ⎜⎜ƒ− ⎟⎟ƒ ƒ =⎝ ⎠Отсюда следует221 2 b2k 0⎛ ƒ ⎞⎜⎜⎝ + ƒ ⎟⎟⎠=,т.е. возникают три возможности:1) b = 0 , 2)221 2 2k 0 ƒ+ =ƒ, 3) b = 0,ƒ = 0 .Случаи 2), 3) не имеют места, так как приводят к ра-венствам221 2 2k ƒ= −ƒ, k = 0 . То и другое невозможно.Переходим к рассмотрению первого случая: b = 0 .Тогда из (1.10) и (2.7) следуетƒ13 = ƒ23 = ƒ33 = ƒ12 = ƒ22 = 0 ,а равенства (1.10) примут вид1 1 23 123122 2 311 2 31122 1 2 2 31 1 11,0,0,,2 ,2 2 .kdk kd kkd k k kkƒ = − ƒ + ƒƒƒ =ƒ == ƒƒ + ƒƒƒƒ = −ƒƒ + ƒ + ƒ ƒ⎛ ƒ ⎞ƒ = ƒƒ +⎜⎜ − ƒ ⎟⎟ƒ + ƒ ƒ⎝ ⎠(2.9)Нетрудно убедиться, что система дифференциаль-ных уравнений (2.9) вполне интегрируема. Следова-тельно, рассматриваемый класс неголономных по-верхностей вращения существует с параметрическимпроизволом.Неголономные поверхности исследуемого класса,существование которых мы только что доказали, об-ладают следующими свойствами.Одна из асимптотических совпадает с меридиа-ном, а вторая ортогональна параллели. Действитель-но, из условия( 2 )d r,e1,e2 =0находим уравнения асимптотических( ) ( ) 12 1 2 221 230,0.kƒ −ƒƒ ƒ +kƒ =ƒ =(2.10)Из (2.10) видим, что при k2 = 0 одна из асимпто-тических1 213,0kƒƒ = ƒƒ =(2.11)совпадает с меридианом, а втораяƒ1= ƒ3= 0 (2.12)ортогональна параллели.Линии тока нормалей e3 неголономной поверхно-сти вращения - прямые линии. Действительно, в силу(2.9) de3 = 0

Скачать электронную версию публикации