Aleksandroff duplicate and its generalization.pdf Обозначения и соглашения. В статье использо-ваны терминология и обозначения из [2]. В частности,символами c(X), d(X), w(X), ƒ(X), ƒ(X), t(X)и X обозначаем соответственно число Суслина,плотность, вес, характер, псевдохарактер, тесноту имощность пространства X. Компактами называемкомпактные хаусдорфовы пространства.Определение. Пусть X - произвольное T1 -про-странство и nN. Символом X ⊗ n будем обозна-чать множество X{0, 1,…,n−1} , снабженное сле-дующей топологией: объявим базой одноточечныемножества вида {(x, k)} для каждого x  X иk=1, 2,…,n−1 и множества вида11( {0, 1, , 1}\ {( , )}nkU n x k−= … − ∪ для каждого x  X икаждого открытого в X множества U, такого, чтоx U .Из определения сразу следует, что пространстваX ⊗1 и X гомеоморфны и что подпространствоX {0} пространства X ⊗ n гомеоморфно простран-ству X . Если X - окружность и n = 2 , то получимизвестный пример «Двойная окружность Александро-ва» [1]. Кроме того, несложно увидеть, что(X ⊗m)⊗n=X⊗mn.Отметим простейшие соотношения между про-странствами X и X ⊗ n .Теорема 1. Пусть X - бесконечное T1 -про-странство. Тогда c(X ⊗n)= d(X ⊗n)= X ,w(X ⊗n)=max{X,w(X)} (в частности, если X -компакт, то w(X ⊗n)= X ), ƒ(X ⊗n)=ƒ(X),ƒ(X ⊗n)=ƒ(X) для любого nN.Теорема 2. Пусть nN. Пространство X явля-ется компактом тогда и только тогда, когда про-странство X ⊗ n является компактом.Оказывается, что мощность пространства X суще-ственным образом сказывается на свойствах про-странств X ⊗ n : если X - счетный компакт, то приmn пространства X ⊗m и X ⊗ n гомеоморфны, аесли X - несчетный метрический компакт, то эти про-странства не гомеоморфны.Теорема 3. Если X - несчетный метрический ком-пакт, m,nN и mn, то пространства X ⊗m иX ⊗ n не гомеоморфны.Доказательство. Если X - несчетный метриче-ский компакт, то по теореме Кантора - Бендиксона [2.С. 102] X можно представить в виде объединения двухнепересекающихся множеств: X =Y∪Z, где Y - не-счетное совершенное (замкнутое и плотное в себе)множество, а Z - не более чем счетное. Предположим,что существует гомеоморфизм ϕ: X ⊗mX⊗nи пусть m>n. Тогда точки (x,0)Y{0}Y⊗mпри этом гомеоморфизме будут переходить в точкивида (x,0)Y{0}Y⊗n. Зафиксируем метрику ƒна пространстве X . Пусть ƒ - отображение из X ⊗ nна свое подпространство X {0} , которое мы отожде-ствляем с X , ƒ(x,k)=(x,0) , для всех k=0,…,n−1.Очевидно, что ƒ - непрерывная ретракция. Дока-жем, что для любого pN множествоAp={(x,k)Y⊗m:ƒ(ϕ(x,0),ƒϕ(x,k))≥1 p} ко-нечно. Предположим, что Ap ≥ ℵ0 . Пусть (x

Скачать электронную версию публикации