Similarity of homogeneously decomposable groups.pdf Приведем основные обозначения и термины, ис-пользуемые в работе.Пусть X - множество всех последовательностейвида (1) (2) v= (v ,v ,...v(n) ,...) , где v(i) - целое неотрица-тельное число или символ  (iN). Такие последо-вательности будем называть характеристиками.В множестве X естественным образом вводитсячастичный порядок, а именно, v≤w тогда и толькотогда, когда для каждого iN v(i) ≤w(i) . Относи-тельно этого частичного порядка X является полнойрешеткой. Пусть ƒ = {p1,p2,...,pn ,...}- множествовсех простых чисел, перенумерованных в порядкевозрастания. Если A - абелева группа без кручения,aA, то характеристика ƒA(a) элемента a в груп-пе A - это такая характеристика v= (v(1) ,v(2) ,...v(n) ,...) ,в которой каждое v(i) есть pi -высота ( ) iAhp a элемен-та a в группе A (согласно определению, характери-стика нулевого элемента есть последовательность(,,...,,...) ) [1. С. 129].Напомним, что две характеристики v и w счита-ются эквивалентными тогда и только тогда, когдамножество {nN|v(n)w(n)} конечно, причем, еслиv(n) w(n) , то v(n)   и w(n)   .Класс эквивалентности в множестве характери-стик называется типом. Если характеристика элемен-та a абелевой группы без кручения A принадлежиттипу t, то говорят, что элемент a имеет тип t (что за-писывается следующим образом: t(a) = t , илиtA(a) =t). Абелева группа без кручения, в которойвсе ненулевые элементы имеют один и тот же тип t,называется однородной [1. С. 130-131]. Чтобы под-черкнуть, что все ненулевые элементы однороднойгруппы A имеют фиксированный тип t, будем гово-рить, что A - однородная группа типа t, и записыватьэто так: t(A)= t .Множество типов будем рассматривать как час-тично упорядоченное множество относительно есте-ственного отношения порядка (то есть t1≤t2 тогда итолько тогда, когда существуют характеристикиƒ1t1 и ƒ2t2, такие, что ƒ1≤ ƒ2).Тип t будем называть pk -делимым ( pk  ƒ ), еслидля всякой характеристики vt имеем v(k) =  .Для всякого типа t обозначим через P(t) следую-щее множество: P(t)={pkƒ| тип tpk−делим} .Другими словами, pk  P(t) в том и только в том слу-чае, когда для всякой характеристики vt имеемv(k) =  .Однородно разложимыми группами называютсяабелевы группы без кручения, являющиеся прямымисуммами однородных групп, то есть группы видаjj JA G= ⊕ , где Gj -однородные группы [1, C. 211].Собирая вместе слагаемые Gj одного и того же типа tи взяв их прямую сумму, мы получим каноническое(наименьшее однородное) разложение tt TA A= ⊕ .Пусть tt TA A= ⊕ ,1tt TB B= ⊕ - однородно разложи-мые группы, где T и T1 - некоторые множества ти-пов, At и Bt - однородные компоненты типа t группA и B соответственно. Группы A и B назовем подоб-ными, если T=T1 и для всякого типа tT рангr(At) группы At равен рангу r(Bt) группы Bt . Од-нородно разложимая группа tt TA A= ⊕ называетсявполне транзитивно разложимой, если семействогрупп {At}tT вполне транзитивно, то есть для любыхдвух групп At1 и At2 ( t1 может совпадать с t2 ), при-надлежащих этому семейству, из того, что1 2( ) ( ) ƒAta≤ ƒAtb, где aAt1 , bAt2 , следует сущест-вование гомоморфизма 1 2 ƒ  Hom(At, At ) , такого, чтоƒ(a) =b. Все вполне разложимые группы абелевы -группы без кручения и все прямые суммы однород-ных сепарабельных или однородных алгебраическикомпактных групп без кручения содержатся в классевполне транзитивно разложимых групп. Абелевагруппа без кручения A называется вполне транзи-тивной, если семейство { } A вполне транзитивно.Пустьtt TA A= ⊕ (1)- однородно разложимая группа, S - ее вполне харак-теристическая подгруппа. Тогдаtt TS S= ⊕ , (2)где St =SAt. Заметим, что если tt TA B= ⊕ - другоеканоническое разложение группы A и tt TS S= ⊕  , гдеSt =SBt, то St≅St. Действительно, так как любыедва канонических разложения группы A изоморфны,то существует автоморфизм ϕ группы A, такой, чтоϕAt= Bt. Тогда ϕSt S и ϕSt Bt, откудаϕSt SBt=St . Аналогично, 1ϕ−StSt и, значит,St ϕSt. Следовательно, ϕSt =St, то есть St ≅St .Поэтому t(St) - тип группы St , если St - однород-ная группа, и r(St) - ранг St не зависят от канониче-ского разложения группы A.В [2] показано, что всякая вполне характеристиче-ская подгруппа однородной вполне транзитивнойгруппы является однородной группой, поэтому любаявполне характеристическая подгруппа вполне транзи-тивно разложимой группы является однородно раз-ложимой.Рассмотрим связь между типами и рангами пря-мых слагаемых St разложения (2) и типами и ранга-ми прямых слагаемых At (tT) разложения (1) вслучае, когда A - вполне транзитивно разложимаягруппа.Будем говорить, что семейство типов {ƒt}tT со-ответствует вполне характеристической подгруппеtt TS S= ⊕  (St =SAt), где St - однородные группы,если t(St)= ƒt для всякого t.Пусть t1 и t2 - два типа, v= (v(1) ,v(2) ,...v(n) ,...) ,w= (w(1) ,w(2) ,...w(n) ,...) - характеристики, принадле-жащие соответственно типам t1 и t2 . Сумму типовt1+t2 определим как тип, содержащий характеристи-ку v+w= (v(1)+w(1),v(2)+w(2),...v(n)+w(n),...) , где + l =  для всякого l. Если t1≥t2, то разность ти-пов t1−t2 определим как тип, содержащий характери-стику v−w= (v(1)−w(1),v(2)−w(2),...v(n)−w(n),...) , гдеvt1 , wt2 , v≥w, и полагаем  − l =  для всякогоl. Заметим, что в [1. С. 133] для рассмотренных опе-раций над типами применяется мультипликативнаязапись, для наших целей удобнее пользоваться адди-тивной записью.Если характеристика v принадлежит типу t иv(k) =  , то будем писать t(k) =  .Условимся считать, что нулевой группе соответ-ствует тип t(0) (несобственный тип), который обла-дает следующими свойствами: 1) t(0) t2 (t1, t2T), тоƒt1≥t1−t2+ ƒt2.2. Если tt TS S= ⊕  (St =SAt) - вполне характе-ристическая подгруппа группы A и St  0 , тоr(St)= r(At).Две абелевы группы называются почти изоморф-ными по вполне характеристическим подгруппам, ес-ли каждая из них изоморфна вполне характеристиче-ской подгруппе другой группы.Рассмотрим всевозможные множества типов M,содержащих несобственный тип t(0) , в которых каж-дому типу t, отличному от t(0) , поставлено в соответ-ствие некоторое кардинальное число nM(t(0)). Будемназывать такие множества типов отмеченными мно-жествами типов.Пусть M1 и M2 - два отмеченных множества ти-пов. Будем говорить, что сюръективное отображениеϕ :M1 M2 является отмеченным отображением,если оно удовлетворяет следующим условиям:1) ϕ(t) ≤t для всякого tM1 ;2) ϕ сохраняет символы  (то есть, еслиϕ(t) t(0) , то в характеристиках типов t и ϕ(t) симво-лы  стоят на одних и тех же местах);3) если (0)ϕ(t2)t и t1>t2 (t1, t2M1), тоϕ(t1) > ϕ(t2) и ϕ(t1)− ϕ(t2)≥t1−t2;4) 2 1( )M( ) M( )t tn t n t=ϕ = ƒ  для всякого (0)tM2 \{t }.Заметим, что для отмеченного отображения ϕимеем ϕ(t(0))=t(0) . Это вытекает из свойства 1) отме-ченного отображения и из того, что t(0)

Скачать электронную версию публикации