Free topological groups and the spaces of continuous functions on ordinals.pdf Обозначения и соглашения. Все топологическиепространства предполагаются вполне регулярными, аотображения - непрерывными. Кардиналы отождест-вляются с начальными ординалами данной мощно-сти, однако операции произведения на ƒ и степенивида ƒƒ всегда будут пониматься как результат по-рядковых операций, а не кардинальнозначных (обарифметике ординалов см. [6]). Множества ордина-лов мы будем всегда считать наделенными обычнойпорядковой топологией, базу которой образуютобычные интервалы. Как обычно, ƒ - первый беско-нечный и ƒ1 - первый несчетный ординалы.Введем следующие эквивалентности между топо-логическими пространствами: X=Y, если пространства X и Y гомеоморфны. X ~MY, если свободные топологические группыF(X) и F(Y) (в смысле Маркова) являются топологи-чески изоморфными; в этом случае пространства X иY называются М-эквивалентными. X~ lY, если пространства всех непрерывныхфункций Cp(Х) и Cp(Y), наделенные топологией пото-чечной сходимости, линейно гомеоморфны; про-странства X и Y называются l-эквивалентными. X~ nY, если банаховы пространства C(Х) и C(Y)линейно гомеоморфны (мы подразумеваем, что X и Yявляются компактами); в этом случае пространства Xи Y называются n-эквивалентными.Компакт Х называется разреженным, если любоеего подпространство имеет изолированные точки. Длятопологического пространства X определим по ин-дукции обычные производные множества: X - мно-жество всех неизолированных точек в Х, X(0) = Х, еслиX(ƒ) уже определено, то полагаем X(ƒ+1) =( X(ƒ)), еслиƒ - предельный ординал, то полагаем X(ƒ) = ƒƒ}, так что [1,ƒ] ~n[1,ƒ]тогда и только тогда, когда оба ординала ƒ и ƒ попа-дают в один такой полуинтервал. При такой трактовкекласс ƒ состоит из всех ординалов вида ƒƒƒ при ƒ ≥ 0и всех ординалов вида ƒ⋅ƒ, где ƒ − регулярный карди-нал и ƒ − некоторый (включая все конечные) карди-нал, удовлетворяющий неравенству 1 ≤ ƒ ≤ ƒ. Заме-тим, что только вблизи регулярных кардиналов появ-ляются дополнительные «верстовые столбы». Случайсчетных ординалов (теорема Бессаги - Пелчинского)полностью укладывается в случай а) теоремы 5, аслучай из теоремы 4 (Семадени) − в случай b).Замечание. Все результаты этой статьи были по-лучены автором в 1990 году и содержались в [13]. Ввиде статьи они публикуются впервые.Основные результаты. Целью этой статьи явля-ется доказательство следующей теоремы.Теорема 6. Пусть [1,ƒ] и [1,ƒ] - компактные бес-конечные отрезки ординалов. Тогда следующие усло-вия эквивалентны:a) [1,ƒ] ~M[1,ƒ] ,b) [1,ƒ] ~l[1,ƒ],c) [1,ƒ] ~n[1,ƒ],d) ординалы удовлетворяют одному из трех взаи-моисключающих условий а), b) и с) теоремы 5.Доказательство. Эквивалентность условий с) и d)доказана в теореме 5. Выше уже отмечалось, что вве-денные эквивалентности связаны между собой, и, всилу компактности рассматриваемых пространств, мыполучаем импликации а)  b)  c). Таким образом,остается только показать справедливость импликацииd)  a). Но это следует из теоремы 7 ниже, котораяимеет самостоятельное значение. Символом ƒ = ⊕ iI ƒi мы будем обозначать дис-кретную сумму семейства топологических про-странств, причем в случае ƒi  Y мы будем просто пи-сать ⊕ƒ ƒ, где ƒ − мощность индексного множества ƒ.Для локально компактного некомпактного простран-ства ƒ через a(ƒ) = ƒ {} мы будем обозначать егоодноточечную компактификацию.Теорема 7. Пусть ƒ − бесконечное порядковоечисло. Тогда имеет место одно из трех взаимоисклю-чающих утверждений:a) если ƒ = ƒƒƒ ≤ ƒ < ƒƒƒ +1 для некоторого ордина-ла ƒ ≥ 0, отличного от всякого регулярного кардинала,то [1,ƒ] ~Ma(⊕|ƒ| [1,ƒ));b) если ƒ⋅ƒ ≤ ƒ < ƒ⋅ƒ+, где ƒ − регулярный кардинали ƒ < ƒ − произвольный кардинал, то[1,ƒ] ~Ma(⊕ƒ [1,ƒ));c) если ƒ2 ≤ ƒ < ƒƒ, где ƒ − регулярный кардинал,то [1,ƒ] ~Ma(⊕ƒ [1,ƒ)).Аналог последней теоремы можно сформулиро-вать также для Cp-случая, но мы предоставляем этосделать читателю.Итак, из последних теорем ясно, что нам нужнотолько разобраться с изоморфизмами свободных то-пологических групп. Для сокращения записи усло-вимся отсюда и всюду ниже писать значок ≅ вме-сто знака ~ M .Напомним некоторые сведения о свободных топо-логических группах [1,3]. Известны две разновидно-сти таких групп: FG(X) − в смысле Граева и FM(X) − всмысле Маркова, причем группа FM(X) топологическиизоморфна группе FG(X⊕{∗}), где ∗ − некоторая точ-ка, ∗∉ƒ. Так как у нас ƒ есть бесконечный отрезокординалов, то X⊕{∗} гомеоморфно самому ƒ. Следо-вательно, в этом случае FG(X) ≅ FM(X), и мы можемговорить просто о свободной топологической группеF(X). Ниже для определенности мы принимаемЛемма 8. Если u и v − изоморфизмы свободныхтопологических групп, то u

Скачать электронную версию публикации