The formula type formula Christoffel?Schwarz for numerable polygon.pdf Область D комплексной w-плоскости будем назы-вать областью с симметрией переноса вдоль вещест-венной оси, если D=L(D), где L(w)= w+2ƒ. Каж-дая область D с симметрией переноса вдоль вещест-венной оси является неограниченной и конечной(  ∉ D ), а также либо односвязной, либо бесконеч-носвязной. Бесконечно удаленная точка может бытьтелом одного или многих простых концов границыобласти D. При преобразованиях L(w)= w+2ƒ об-ласти D возможны только два варианта: в точкеw =  среди всех простых концов неподвижными мо-гут быть либо один простой конец, либо два простыхконца. В первом случае область D будем называть об-ластью типа полуплоскости. Во втором случае об-ласть D будем называть областью типа полосы. Будутрассматриваться только односвязные области типаполуплоскости с симметрией переноса вдоль вещест-венной оси (см., например, [1]).Пусть область D есть односвязная область типаполуплоскости с симметрией переноса вдоль вещест-венной оси, граница которой состоит из отрезковпрямых и лучей, причем при движении по границе отточки w0 до точки w0 + 2ƒ их должно быть конечноечисло. Будем такую область называть счетноугольни-ком.Пусть отображение f (существование такого ото-бражения следует из теоремы Римана) переводитверхнюю полуплоскость в счетноугольник. Двигаясьпо границе счетноугольника от точки w0 до точкиw0 + 2ƒ в положительном направлении, обозначимпоследовательно встречающиеся угловые точки гра-ницы через (0)A1 , (0)A2 , …, (0)An , (0) (0)An A1 + 2ƒ ,n N , а углы счетноугольника обозначим соответст-венно через ƒ1ƒ , ƒ2ƒ , …, ƒnƒ . Если (0)Ak C, то0< ƒk ≤2, если же (0)Ak =  , то ƒk = 0 . Видно, чтоƒ1+ ƒ2+ …+ ƒn = n . Обозначим через (0)ak прообраз(0)Ak , k= 1,n, для отображения f . Без потери общно-сти можно считать, что все ak(0)(0,2ƒ) (см. рис. 1).И.А.Александров в работе [2], используя принципсимметрии Римана - Шварца, получил формулу дляотображения f0(0) 11 21( ) ( ) sin2z n kkz kaf z c G d cƒ −=⎛ − ς⎞= ς ⎜⎜ ⎟⎟ ς+⎝ ⎠ ƒ ,где целое отображение G , постоянные (0)c1,c2,akподлежат определению из условий конкретной зада-чи.В данной работе эта задача решается другим спо-собом и при дополнительном условии, что( )Imlim ( ) 0zf z z+− = . Предел здесь равномерный от-носительно Re z .Вспомогательное отображениеg(z) = lnf(z)+zесть голоморфное в верхней полуплоскости отобра-жение с симметрией переноса вдоль вещественнойоси, непрерывно продолжаемое на вещественную осьи удовлетворяющее условиямg(z+2ƒk)=g(z)+2ƒk, k Z ,( )Imlim ( ) 0zg z z+− = .Таким образом, отображение g удовлетворяет сле-дующей теореме, доказанной в работе [3].Рис. 1Теорема 1. Для голоморфного в верхней полуплос-кости отображения h с симметрией переноса вдольвещественной оси, непрерывно продолжаемого навещественную ось и удовлетворяющего условиямh(z+2ƒk)= h(z)+2ƒk, kZ ,( )Imlim ( ) , Im 0zh z z A A z+− = C, > ,справедлива формула (типа формулы Шварца)20( ) 1 ctg Im ( ) Re2 2h z x z h x dx z Aƒ −= + +ƒ  .Применяя эту формулу к отображению g и воз-вращаясь к отображению f, получим( )20ln ( ) 1 ctg arg ( ) Im2 2fz x z fx z dx = ƒ −  + =ƒ 201 ctg arg ( )2 2x z f x dx= ƒ − ƒ  .Исходя из геометрического смысла аргументапроизводной, запишем отображение(0)1 1(0) (0)2 1 2(0) (0)1(0)1, 0 ,, ,arg ( ), ,, 2.n n nnv x av a x af xv a x av a x−⎧ <

Скачать электронную версию публикации