Essential permutation preserves a convergence just on a set of the first category in the space of series.pdf Введение. Пусть (E,||*||) - банахово пространство.Рассмотрим пространство сходящихся рядов надпространством E:( ) 11C( ) kk : kkS E X x x сходится===⎧⎪⎨ = ⎫⎪⎬⎪⎩ ⎪⎭ƒ ,nkk 1X sup || x ||, n N== ⎧⎪⎨  ⎫⎪⎬⎪⎩ ⎪⎭ƒ .Нетрудно убедиться, что (SC(E),∗) - банаховопространство. В работе [1] было показано, что множе-ство( ) ( )1US C : kkS E X S E x сходится безусловно==⎧⎪⎨ ⎫⎪⎬⎪⎩ ⎪⎭ƒявляется всюду плотным множеством первой катего-рии в пространстве SC (E) . В данной работе мы зна-чительно расширим множество SUC (E) с сохранени-ем указанного свойства. Для этого введем следующеепонятие. Будем говорить, что перестановка ƒ меняетcходимость (является существенной), если найдетсячисловой ряд1kka a R=ƒ =  , такой, что ( )1kkaƒ= ƒрас-ходится. Зафиксируем перестановку ƒ, меняющуюсходимость, и рассмотрим множество,( ) ( ) ()1C C : kkS E X S E x сходитсяƒ ƒ==⎧⎪⎨  ⎫⎪⎬⎪⎩ ⎪⎭ƒ .Очевидно,что SUC (E) SC,ƒ (E) . Цель работы -доказать теорему : Множество SC,ƒ (E) есть всюдуплотное множество первой категории в пространст-ве SC (E) для любой существенной перестановки ƒ.Доказательство основной теоремы. Для доказа-тельства нам понадобится следующаяЛемма. Пусть перестановка ƒ меняет сходи-мость, E - банахово пространство. Тогда найдетсясходящийся ряд1kky= ƒв пространстве Е, такой, что( )1sup ,nkkyƒ n N=⎧⎪⎨  ⎫⎪⎬=⎪⎩ ⎪⎭ƒ .Доказательство. Так как ƒ меняет сходимость, тонайдется числовой ряд1i 0ia=ƒ = , такой, что ( )1iiaƒ= ƒрасходится>©O м. Построим числовой ряд1i 0ib=ƒ = , такой,что ( )1sup ,niibƒ n N=⎨⎧⎪  ⎬⎫⎪= ⎪⎩ ⎪⎭ƒ . Тогда для любогоэлемента eE, e  0 ряд1k, k kky y eb=ƒ = , будет ис-комым. Введем обозначения:1( , )niis I n a== ƒ , ( )1( , )niis n aƒ=ƒ = ƒ .Так как s(ƒ,n) не сходится к нулю, то найдется по-следовательность { } 1 1 2jj, ..., jn n n n N j N =< <    ,такая, что для некоторого C > 0 выполнено:jN s(ƒ,nj)≥C>0. Положим M1= n1 и найдемнатуральное N1 , такое, что 1 ( , )2n>N s I n < C иƒ{1,...,M1}{1,...,N1−1} .Теперь для каждого kN найдем натуральныечисла{ { } { }} Mk+1=minnj: 1,...,Nk+1  ƒ 1,...,nj ,{ { } { }} Nk+1=minN:ƒ 1,...,Mk+1 1,..., N −1 .Выпишем в естественном порядке натуральныечисла, образующие множествоПk=ƒ{1,...,Mk+1} \{1,...,Nk+1} :1k, 1k1,..., 1k 1k,Nk+l Nk+l + Nk+l +m…k( ) , k( ) 1,.... k( ) k( )Nk+lrk Nk+lrk + Nk+lrk +mrk .Здесь r(k) - количество блоков подряд идущих на-туральных чисел во множестве Пk . Заметим, чтоr(k)   при k   , так как сумма элементов ряда{ , { k,..., k k } }ƒ ai i Nk+lj Nk +lj +mj для каждогоj{1,...,r(k)} стремится к нулю по критерию Кошипри k   , а сумма|ƒ{ai,i Пk}|=|s(ƒ,Mk+1)−s(I,Nk +1)|≥02 2≥ C −C=C>для всех натуральных k.Строим ряд1iib= ƒ:ln ( ) ,i ( )b r kr k=если kN,j{1,2,...,r(k)}: ki=Nk+lj;ln ( ) ,i ( )b r kr k= −если kN,j{1,2,...,r(k)}: k k 1i=Nk+lj+mj+ ;bi = 0в остальных случаях.Очевидно, что ilim i 0b= и1i 0ib=ƒ = , так как в этомряде чередуются положительные и отрицательныечлены. После перестановки ƒ имеем1( )1 Пln ( )kkMi ii ib b rk+ƒ= ƒ =ƒ = ,следовательно (так как r(k)   ), нужное условиевыполнено.Теорема. Множество SC,ƒ (E) есть всюду плот-ное множество первой категории в пространствеSC (E) для любой существенной перестановки ƒ.Доказательство. МножествоS=SC,ƒ(E) всюдуплотно в SC(E), так как уже ряды с конечным чис-лом ненулевых членов образуют всюду плотное мно-жество в SC(E). Представим множество S в видесчетного объединения:n N nS S=  ,где ( )1:mn kkS X S xƒ n m N==⎧⎪⎨  ≤   ⎫⎪⎬⎪⎩ ⎪⎭ƒ .Покажем, что множество Sn нигде не плотно впространстве Sc(E). Зафиксируем сходящийся ряд1kky= ƒв пространстве E, такой, что( )1sup ,mkkyƒ m N=⎨⎧⎪  ⎬⎫⎪= ⎪⎩ ⎪⎭ƒ ,зафиксируем nN. Пусть XSC(E),ƒ>0. Найдемв открытом шаре U(X,ƒ) шар U(Z,ƒ), такой, чтоu(Z,ƒ)Sn =∅. Если X таков, что( )1sup ,mkkxƒ m N=⎧⎪⎨  ⎫⎪⎬=+⎪⎩ ⎪⎭ƒ ,то Z=X.Если же ( )1sup ,mkkxƒ m N=⎧⎪⎨  ⎫⎪⎬ .Положим4nKƒ = .Пусть V (vk)k 1 U(Z, )= =  ƒ , тогда V=Z+R,4R nK< . Покажем, что V∉Sn . Для этого отметим,что{ { }} ( )1max , 1,...,Kk kkrƒ K r k K=ƒ ≤ ⋅  =0 0011 1k kk k kk kK r K r r−= =⎛ ⎞= ⋅ ≤ ⎜⎜ + ⎟⎟≤⎝ ⎠ƒ ƒ22≤ R K < n .Получаем: ( ) ( ) ( )1 1 132K R Kk k kk k kvƒ zƒ rƒ n= = =ƒ ≥ƒ −ƒ > , тоесть V∉Sn .Теорема доказана.Замечание. Несколько изменив доказательстволеммы, легко доказать, что:а) Перестановка, меняющая сумму, меняет схо-димость;b) Если перестановка меняет сходимость илисумму в пространстве Е, то она меняет сходимость.Поэтому для таких перестановок утверждениетеоремы остается справедливым.

Скачать электронную версию публикации