Vektor fields of zero total curvature of the first kind.pdf Пусть V - гладкое векторное поле без особых то-чек в области G  R3, для которого полная кривизнапервого рода K1 обращается в нуль. Так как K1 = k1 k2(k1 , k2 - главные кривизны первого рода), то возмож-ны два случая: 1) k1=0, k20 (или всё равно, что k2=0,k1  0); 2) k1 = k2 = 0. Оба эти случая рассматриваютсяв данной работе. При исследовании используется ор-тонормированный подвижной репер (M;e1,e2,e3),при этом M  G, 3e VV= . Деривационные формулырепера имеют вид:,,iiji i jdr ede e= ƒ= ƒгде r - радиус-вектор точки М, j iƒi= −ƒj,,( , , 1,2,3).i j ijj k ji i kddi j kƒ = ƒ  ƒƒ = ƒ ƒ=Формы ƒi,ƒ3i являются главными, из них ƒ i - ба-зисные формы, поэтому3i i jƒ = Ajƒ . (1.1)Совокупность всех интегральных кривых уравне-ния Пфаффа ƒ3 = 0 называется пфаффовым много-образием, ортогональным векторному полю {e3} [1].Если уравнение ƒ3 = 0 вполне интегрируемо, топфаффово многообразие, им определяемое, называет-ся голономным. В противном случае - неголономным(неголономное пфаффово многообразие называюттакже неголономной поверхностью [2]).1. ОСНОВНЫЕ ИНВАРИАНТЫВЕКТОРНОГО ПОЛЯОсновные инварианты векторного поля {e3} опре-деляются формулами:1 11 22 2 21 2K A AA A= - полная кривизна второго рода(или гауссова кривизна);1 21 22H A A+= − - средняякривизна; 1 2ƒ = A2− A1 - скаляр неголономности;21 2 4K Kƒ= − - полная кривизна первого рода [3].Уравнения1 1 2 1 2 1 2 2 2 21 2 1 23( ) ( ) ( ) 0,0Aƒ +A+Aƒ ƒ +Aƒ = ⎫⎬ƒ = ⎭(1.2)определяют асимптотические линии пфаффова мно-гообразия ƒ 3= 0. Уравнения2 1 2 2 1 1 2 1 2 21 2 1 23( ) ( ) ( ) 0,0A ƒ +A− A ƒ ƒ − A ƒ = ⎫⎬ƒ = ⎭(1.3)- линии кривизны второго рода. Уравнения1 1 1 2 1 31 2 32 1 2 2 2 31 2 30,0A A AA A A⎫ ƒ + ƒ + ƒ = ⎪⎬ƒ + ƒ + ƒ = ⎪⎭(1.4)- эквидирекционные линии (линии, вдоль которыхвекторы поля {e3} параллельны [1]). Для нормальнойкривизны kn кривой, принадлежащей ƒ3 = 0, имеетместо формула1 2 1 2 2 2kn =−A1cos ϕ−(A2+A1 ) cosϕsinϕ−A2 sin ϕ, (1.5)где ϕ - угол между касательной к кривой и векторомe1 . Главные кривизны первого рода - это экстремаль-ные значения функции kn . Полная кривизна первогорода K1 равна произведению главных кривизн первогорода.Известно, что если K1 = 0, то через каждую точкуMG проходит либо одна асимптотическая линия,либо их бесконечно много. В последнем случаепфаффово неголономное многообразие ƒ3 = 0 назы-вают неголономной плоскостью.2. КАНОНИЧЕСКИЙ РЕПЕР ВЕКТОРНОГОПОЛЯ НУЛЕВОЙ ПОЛНОЙ КРИВИЗНЫ ПЕР-ВОГО РОДА ОБЩЕГО ВИДАРассмотрим векторное поле, для которого K1= 0,но при этом только одна из главных кривизн первогорода равна нулю. Через каждую точку M  G в этомслучае проходит лишь одна асимптотическая. Чтобырепер {M;e1,e2,e3} стал каноническим, достаточновектор e1 в точке М направить по касательной касимптотической. Тогда1A1 = 0, 1 2 2 1 22 1 0, 2 0, 2 , 2 22A A A A A Hƒ+ =  = =−и формулы (1.1) примут вид1 2 332 1 2 33,22 ,2aH bƒƒ = ƒ + ƒƒƒ = − ƒ − ƒ + ƒ(2.1)где 1 2a=A3,b=A3.Вектор ae1+ be2 - вектор кривизны линии токавекторного поля {e3} .Внешнее дифференцирование системы (2.1) при-водит к равенствам( 9( ) 2 )2( ( ) ) 0,4( ( ) 2 )2( 2 ( 4 ) )4( ) 0.d a ab H Hda a bd b ab H HdH b Hdb aƒ− ƒƒ + −ƒ ƒ − ƒ ƒ +ƒ+ + − ƒ + ƒ ƒ =ƒ− + ƒƒ + +ƒ ƒ − ƒ ƒ +ƒ+ − + + − ƒ  ƒ ++ − ƒ ƒ =(2.2)Из (2.2), применяя лемму Картана, находим1 211 123 113 221 2 2 2 312 22 231 2 3 113 23 33 2( )2( ) 2 ,2 ( 4 ) ,4.d bab H HdH b Hdb aƒ=−ƒ ƒ + ƒ−ƒ ƒ ++ +ƒ −ƒ ƒ − ƒƒ=−ƒ ƒ −ƒ ƒ + + − −ƒ ƒ=ƒ ƒ +ƒ ƒ +ƒ ƒ + ƒ(2.3)Подставляем найденное значение2dƒв первое ра-венство системы (2.2), затем применяем лемму Кар-тана. В результате получим1 1 2 32 11 22 13 2322 1 2 3 123 33 24 ( ) (2 ) ,( ) .4H a abda a bƒ = −ƒ − ƒ ƒ −ƒ ƒ + −ƒ −ƒ ƒƒ= − ƒ +ƒ ƒ +ƒ ƒ − ƒ(2.4)Из (2.3) и (2.4), произведя соответствующие вы-числения, находим1 1 2 32 11 22 13 232 212 1 22 2 2 23 31 211 22 12 23 13322 1 211 23 22333 12 231 [( ) (2 ) ],4( 2 ) ,2 2 2 2 8( ) ( 2 2 ) (2 ) ,[ ( )] ( )4 4 4[ ( 2)] ,4a abHdH b Hd a bHda a b a bH Hb abHdbƒ = −ƒ − ƒ ƒ −ƒ ƒ + −ƒ −ƒ ƒƒ ƒ ƒ ƒ=− ƒ − ƒ + + − − ƒƒ= ƒ−ƒ ƒ + ƒ − ƒ + ƒ ƒ + ƒ −ƒ ++ ƒ ƒƒ= − + ƒ + ƒ ƒ + ƒ + ƒ ƒ ++ ƒ + ƒ +ƒ − ƒ= 1 213 11 23 22333 13 23[ ( )] ( )4 4[ ( 2)].4a aH Ha abHƒ − ƒ +ƒƒ ƒ + ƒ − ƒ ƒ ++ ƒ − ƒ +ƒ − ƒ(2.5)Для внешних дифференциалов базисных формимеют место формулы1 1 211 13 232 32 1 222 13 233 1 2 33 1 2 2 3 3 11( ) [1( 2 )4 4] ,21 1[ ( 2 )4 4] 2 ,2.d a abH Hd abH HHd b aƒ = ƒ + ƒ ƒ ƒ − ƒ +ƒ − +ƒ+ ƒ ƒƒ = ƒ ƒ ƒ − ƒ +ƒ − +ƒ+ ƒ ƒ + ƒ ƒƒ =−ƒƒ ƒ − ƒ ƒ + ƒ ƒ(2.6)В выбранном нами каноническом репере уравне-ния (1.2) - (1.5), определяющие асимптотические ли-нии кривизны второго рода, эквидирекционные ли-нии, нормальную кривизну кривых, принадлежащихƒ3 = 0, принимают соответственно вид:ƒ2 = 0, ƒ3 = 0; (2.7)1 2 1 2 2 23( ) 4 ( ) 0,0;ƒ ƒ + Hƒ ƒ +ƒ ƒ =ƒ =(2.8)2 31 2 30,22 0;2aH bƒ ⎫ ƒ + ƒ = ⎪⎬−ƒƒ − ƒ + ƒ = ⎪⎭(2.9)kn =2Hsin2 ϕ . (2.10)Из (2.10) следует, что экстремальные значения knпринимает при ϕ1 = 0 и ϕ2 =2ƒ, т.е. главные кривизныпервого рода kn1 и kn2 имеют следующие значения:kn1 =0, kn2 =2H. Отсюда следует, что одна из линийкривизны первого рода совпадает с асимптотическойлинией.Рассмотрим линейчатые поверхности, описывае-мые прямыми, проходящими через точки линий кри-визны первого рода в направлении векторов поля e3 .Найдем горловые линии этих линейчатых поверхно-стей и их параметры распределения.a) Для линейчатой поверхности, соответствующейтой линии кривизны, которая совпадает с асимптоти-ческой ( ƒ2 = ƒ3 = 0 ), имеем dr,de3 =0. То естьсама асимптотическая представляет собой горловуюлинию линейчатой поверхности, состоящей из пря-мых, проходящих через точки этой асимптотическойв направлении векторов поля. Параметр распределе-ния p = 2 .ƒб) Для второй линейчатой поверхности горловаялиния определяется уравнением2 2 342 ,4R r H eƒ H= ++а параметр распределения - формулой 2224.4Hƒƒ +При неголономном ƒ3 = 0 имеем0rang 2 222aH b⎛ ƒ ⎞⎜ ⎟⎜⎜⎜−ƒ − ⎟⎟⎟=⎝ ⎠,это означает, что векторное поле{e3} не имеет экви-дирекционных поверхностей.Количество линий кривизны второго рода зави-сит от значения инварианта 4H2 − ƒ2. При ƒ = 2H(или ƒ = −2H) через всякую точку M  G проходиттолько одна линия кривизны второго рода, имеющаяуравнения1 23,0ƒ = ƒ ⎫⎬ƒ = ⎭⎛⎜⎝или1 23,0.ƒ = −ƒ ⎞⎟ƒ = ⎠Таким образом, если через M  G проходиттолько одна линия кривизны второго рода, то она де-лит пополам угол между линиями кривизны первогорода.3. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ КЛАССА K1 =0С ОДНИМ СЕМЕЙСТВОМ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХАСИМПТОТИЧЕСКИХЕсли пфаффово многообразие ƒ3 = 0, ортогональ-ное полю {e3} , голономно, то K1 =K2 есть гауссовакривизна его интегральной поверхности, проходящейчерез точку M  G. Следовательно, при K1 =0 эта по-верхность является развёртывающейся с прямолиней-ными образующими в качестве асимптотических. Всяобласть G в этом случае расслаивается на однопара-метрическое семейство торсов. Существуют ли век-торные поля класса K1 = 0, для которых неголономноеƒ3 = 0 имеет прямолинейные асимптотические? Отве-том на этот вопрос является следующая теорема.Теорема 1. С произволом трёх функций двух аргу-ментов существуют векторные поля класса K1 = 0,для которых ортогональное неголономное пфаффовомногообразие имеет прямолинейные асимптотиче-ские.Доказательство. Пусть асимптотическиеƒ2=ƒ3=0 - прямые линии, тогда de1 || e1 при ƒ2=ƒ3=0.Это возможно лишь тогда, когда a11 + aƒ = 0. Система(2.5) теперь принимает вид1 2 32 22 13 2321 2 2 2 312 22 231 212 22 13 23322 1 223 22313 23 331 213 23 22 14 ( 2 ) 0,2 ( 4 ) 0,42 (2 2 ) (2 ) 0,( ) ( )4 4[ (2 ) ] 0,4( ) [ (4 4H abdH b Hd a bHda a bHb abHdb a aH Hƒ +ƒ ƒ + ƒ +ƒ − ƒ =ƒ+ƒ ƒ +ƒ ƒ + ƒ + − − ƒ =ƒ− ƒƒ + ƒ −ƒ − ƒ ƒ + ƒ −ƒ −− ƒ ƒ =ƒ+ − ƒ − ƒ + ƒ ƒ ++ −ƒ −ƒ −ƒ ƒ =−ƒ ƒ − ƒ − ƒ ƒ + ƒ3 2332ab) 33] 0.+ƒ −− −ƒ ƒ =(3.1)Замыкаем (3.1), получаем следующую системувнешних уравнений:2 3 1 222 13 23 12 3 3 11 11 2 3 1 212 22 23 22 3 3 12 22 3 1 212 22 13 23 32 3 3 13 32 323 22 13 233( )0,0,(2 ) ( )0,( ) ( )4 4d d d AB Cd d d AB Cd d d d AB Cd bd bd dH Hdƒ ƒ + ƒ + ƒ ƒ + ƒ ƒ ++ ƒ ƒ + ƒ ƒ =ƒ ƒ + ƒ ƒ + ƒ ƒ + ƒ ƒ ++ ƒ ƒ + ƒ ƒ =ƒ − ƒ ƒ + ƒ − ƒ ƒ + ƒ ƒ ++ ƒ ƒ + ƒ ƒ =− ƒ − ƒ ƒ − ƒ + ƒ ƒ −− ƒ 3 1 2 2 3 3 13 4 4 41 2 213 23 22 133 3 1 2 2 323 33 5 53 150,(4 4)0.A B Cd d ad adH Hd d A BCƒ + ƒ ƒ + ƒ ƒ + ƒ ƒ =ƒ ƒ − ƒ ƒ + ƒ ƒ + ƒ ++ ƒ ƒ − ƒ ƒ + ƒ ƒ + ƒ ƒ ++ ƒ ƒ =(3.2)Положим1 2 322 11 12 131 2 313 21 22 231 2 323 31 32 331 2 312 11 12 131 2 322 21 22 231 2 322 31 32 331 2 313 11 12 131 2 333 21 22 23,,,,,,,.ddddddddƒ = ƒ ƒ + ƒ ƒ + ƒ ƒƒ = ƒ ƒ + ƒ ƒ + ƒ ƒƒ = ƒ ƒ + ƒ ƒ + ƒ ƒƒ = ƒ ƒ + ƒ ƒ + ƒ ƒƒ = ƒ ƒ + ƒ ƒ + ƒ ƒƒ = ƒ ƒ + ƒ ƒ + ƒ ƒƒ = ƒ ƒ +ƒ ƒ +ƒ ƒƒ = ƒ ƒ + ƒ ƒ + ƒ ƒ(3.3)По методу Кэлера [4] строим цепь интегральныхэлементов E1  E2  E3 . Для E1 полагаем ƒ2 = ƒ1 =0.Имеем 8 независимых параметров ƒ13, ƒ23, ƒ33, ƒ13,ƒ23, ƒ33, ƒ13, ƒ23, то есть r1 = 8 (мы используем обозна-чения, принятые в [4]). Для E2 полагаем ƒ1 = 0 и нахо-дим22 13 1 332 13 13 3 132 23 213 33 1 422 33 1 51( ),21( ),2,,4.4B BB BBb B BHa B BHƒ = ƒ − +ƒ = ƒ −ƒ + −ƒ = ƒ −ƒ = ƒ + +ƒ = ƒ − +(3.4)Из (3.4) видим, что r2 =3. Следовательно, характерs1 =r1 − r2 = 5.Подставив (3.3) в (3.2), получим следующие соот-ношения:11 121 12 231 13 211 1 31 3211 33111 1 421 23 1 51 4 3 11 5 1 3 2,,,1( ),2,2,2,4,42 (2 ) 0,2 ( 2 2 ) 0.AACA AC CC Cb C CHa C CHbA H A C CaA H A B B Cƒ = −ƒ = ƒ −ƒ = ƒ +ƒ = − ++ƒ =−ƒ =ƒ = +ƒ = ƒ + −+ + − =+ − + + + =(3.5)Вычислив A1, A4, A5, B1, B3, C1, C2, C3, мы убежда-емся в том, что последние два равенства из (3.5) пред-ставляют собой тождества.Мы построили правильную цепь E1  E2  E3 инте-гральных элементов. Следовательно, система (3.2) - винволюции. Характеристическое число r3 =0. Харак-теры s2 = r2 − r3 = 3, s3 = 0. Согласно признаку Кэлера,если построена правильная цепь интегральных эле-ментов, то интегральное многообразие существует спроизволом, определяемым последним не равным ну-лю характером цепи [4]. Таким образом, мы доказали,что исследуемое векторное поле существует и опре-деляется с произволом трёх функций двух аргумен-тов. 4. ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ, ДЛЯ КОТОРОГО ОРТО-ГОНАЛЬНОЕ ПФАФФОВО МНОГООБРАЗИЕЯВЛЯЕТСЯ НЕГОЛОНОМНОЙ ПЛОСКОСТЬЮВ этом случае всякая интегральная кривая уравне-ния ƒ3= 0 - асимптотическая линия. Тогда из (1.2)следует 1 2 2 1A1=A2=0,A1=−A2. Средняя кривизнаH = 0 и равенства (2.1) принимают вид1 2 332 1 33,2.2abƒ ⎫ ƒ = ƒ + ƒ ⎪⎬ƒ = − ƒ ƒ + ƒ ⎪⎭(4.1)Теорема 2. Существует единственное векторноеполе, для которого ортогональное пфаффово много-образие является неголономной плоскостью.Доказательство. Прежде всего заметим, что еслиƒ3 = 0 является неголономной плоскостью, то линиитока векторного поля {e3} не могут быть прямыми.Поэтому поместим вектор e1 в соприкасающуюсяплоскость линии тока, тогда b = 0 и формулы (4.1)примут вид1 2 332 13,2.2aƒƒ = ƒ + ƒƒƒ = − ƒ(4.2)Дифференцируем (4.2) внешним образом и затемприменяем лемму Картана. В результате получаем1 322 1 2 321 1 2 32,2( ) ,4.4d ada aaƒ= ƒƒ +ƒƒƒ= − ƒ +ƒƒ +ƒƒƒƒ = ƒƒ + ƒ + ƒƒ(4.3)Дифференцирование равенств (4.3) с использова-нием формул (4.2) и (4.3) приводит нас к условиямƒ = ƒ = 0, ƒ =2aƒ. И тогда система (4.3) представитсяв виде122 121 2 322 ,( ) ,4.4 2d ada aa aƒ = ƒƒƒ= − ƒƒ ƒƒ = ƒ + ƒ(4.4)Из первых двух уравнений системы (4.4) находим2 142 141,,,cta cttdtcƒ =+=+ƒ = −(4.5)где c = const  0. Так как2 1( 4 2) 0tdt+ƒ = , то можноположить2 14 2 tdut+ƒ = . Следовательно,22 14t dutƒ =+. (4.6)Ищем функции ƒ2, ƒ3, для которых выполнялосьбы равенствоd ( ƒ2 ƒ2 + ƒ3 ƒ3 ) = 0.Такие функции существуют и равны2 2 1 3 2 14 41 , 1 .2t t tƒ = ƒ =+ +Полагаем ƒ2 ƒ2 + ƒ3 ƒ3 = dv, и тогда3 2 14 2 141 .2t dv dutƒ = + −+(4.7)Из (4.4) и (4.2), используя (4.5) - (4.7), находим12 2 1413 2 1423 2 14,2,1 .2( )c dvtct dvtdttƒ =+ƒ =+ƒ =+Таким образом, мы получили следующие дерива-ционные формулы :2 11 212 4 2134 41 2 1 2 2 1 34 42 2 1 1 2 1 34 43 2 1 1 2 1 24 4( ),2,2,2 2( ).2( )dr dt e tdu e t dv du ec t tde cdv e ctdv et tde cdv e dt et tde ctdv e dt et t= − + + + −+ +=− −+ += −+ += ++ +(4.8)Интегрируем систему (4.8). Имеем12 1 2 2 1 34 421 22 1,2.de c e ct edv t td e c edv= − −+ += −Следовательно,e1=ƒ1cos(cv)+ƒ2sin(cv), (4.9)где ƒ1, ƒ2 - постоянные линейно независимые векто-ры.Тогда22 1 1 24( cos( ) sin( )).2e c cv cvv t= ƒ + ƒ +Отсюда2 2 1 1 241 ( sin( ) cos( )) ( ).2e cv cv f tt= ƒ − ƒ ++(4.10)Затем из (4.8) и (4.10) получаем2 14( ) ( )4 ( )d f t f tdt t t=+и находимf (t) t .t= ƒ+(4.11)Таким образом,2 211 2 2134 43 211 2 2134 41 ( sin( ) cos( )) ,2( sin( ) cos( )) 1 .2e cv cv tt te t cv cvt t= ƒ − ƒ + ƒ+ += ƒ −ƒ − ƒ+ +(4.12)Постоянные векторы ƒ1,ƒ2,ƒ3 образуют ортонор-мированный базис. Примем его за базис некоторойдекартовой системы координат и найдём координатыx, y, z точки M в этой системе координат. Из (4.8)следует1 2r 1 ( cos(cv) sin(cv)),t c= − ƒ + ƒт.е. 1 2r 1 ( cos(cv) sin(cv))t (u,v).c= − ƒ + ƒ + ϕ (4.16)Из (4.16) и первого уравнения системы (4.8) находим3.uϕ= ƒСледовательно,33 3( , ) ( ),1 , 1 .2 2u v u vd vdvϕ =ƒ +ƒƒ= − ƒ ƒ = − ƒТаким образом,1 2 3( cos( ) sin( )) ( 1 ) ,2r t cv cv u vc= − ƒ + ƒ + − ƒто естьcos( ),sin( ),1 .2x t cvcty cvcz u v⎫ = − ⎪⎪⎪= − ⎬⎪⎪= −⎪⎭(4.17)Отсюда находим2 22 22 2,,( ).2 ( )dt xdx ydyx ydv xdy ydxc x ydu dz xdy ydxc x y+=+−=+−= ++(4.18)Подставляя dv и du в (4.1), мы получаем уравне-ние неголономной плоскости ƒ3 = 0 в некоторой не-подвижной декартовой системе координат:dz = 2c (x dy − y dx). (4.19)Отсюда следует, что существует единственноевекторное полеV ( 2cx, −2cy, −1),для которого ортогональное пфаффово многообразиеявляется неголономной плоскостью. Скаляр неголо-номности2 2 2 14.( )cc x yƒ =+ +Линии тока векторного поля V лежат на цилинд-рах x2 + y2 = a2 и представляют собой винтовые ли-нииcos ,sin ,.2x ay azc⎫⎪= ƒ⎪ = ƒ ⎬⎪ƒ= − ⎪⎭Итак, векторное поле V , для которого ортого-нальное пфаффово многообразие, представляет со-бой неголономную плоскость, не имеет особых точеки состоит из касательных векторов винтовых линий,лежащих на круговых цилиндрах с общей осью l . Нетолько эти винтовые линии, но и ось l является лини-ей тока. Эквидирекционных поверхностей [1] поле Vне имеет, а эквидирекционные линии - прямые, парал-лельные l.С векторным полем V инвариантно связаны двавекторных поля: а) векторное поле единичных векто-ров n главных нормалей линий тока поля V ; б) век-торное поле единичных векторов b бинормалей ли-ний тока поля V . Для этих полей прямая l являетсяособой прямой. Ортогональные пфаффовы многооб-разия для полей n и b голономны.Пфаффово многообразие, ортогональное полю n ,расслаивается на однопараметрическое семействовложенных друг в друга круговых цилиндров с общейосью l. Это те цилиндры, на которых лежат линии то-ка поля V . Линии тока поля n - прямые линии, ле-жащие в плоскостях, ортогональных прямой l, и в ка-ждой такой плоскости образующие пучок с центром вособой точке, принадлежащей l. Поле n имеет экви-дирекционные поверхности. Они представляют собойпучок плоскостей с осью l.Пфаффово многообразие, ортогональное полю b ,расслаивается на однопараметрическое семейство ге-ликоидов. Линии тока поля b - это винтовые линии,лежащие на тех же цилиндрах, что и линии тока поляV , но ортогональные последним. Эквидирекционныхповерхностей поле b не имеет. Его эквидирекцион-ными линиями являются прямые, параллельные l.

Скачать электронную версию публикации