The adaptive control of investment portfolio.pdf Проблема оптимального управления ИП является однойиз центральных задач финансовой инженерии. В последниедесятилетия активно развивались различные подходы к ре-шению данной проблемы [1 - 9].В работах [10, 11] предложена динамическая модельуправления ИП в пространстве состояний. Структура ИПописывается в виде динамической стохастической сети, уз-лы которой представляют капитал, помещенный в данныйрисковый или безрисковый финансовый актив, а дуги - на-правления и объем капитала, перераспределяемого междуактивами. Задача управления ИП формулируется как дина-мическая задача слежения по квадратичному критерию занекоторым, задаваемым инвестором, портфелем, имеющимжелаемую доходность (гипотетическим эталонным портфе-лем). В качестве модели эволюции цен рисковых активов(акций) в [10,11] принята классическая модель геометриче-ского (экономического) броуновского движения Блэка -Шоулса [7], в которой параметры уравнений, описывающихдинамику цен, не случайны.В данной работе предполагается, что цены рисковых ак-тивов описываются стохастическими разностными уравне-ниями со случайными скачкообразно меняющимися пара-метрами. Параметры уравнений изменяются в соответствиис эволюцией дискретной марковской цепи. Подобные моде-ли учитывают случайные изменения как волатильности, таки доходности, характерные для финансовых рынков и отно-сятся к классу моделей неполного рынка [7, 12 - 17], кото-рые более адекватно описывают изменения цен, наблюдае-мые на реальных финансовых рынках. Предлагается алго-ритм управления ИП c использованием адаптивной фильт-рации параметров уравнений, описывающих структуру ИП.Приводятся результаты численного моделирования.ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ ИП И ОПРЕДЕЛЕНИЕОПТИМАЛЬНОЙ СТРАТЕГИИРассмотрим ИП, состоящий из n видов рисковыхактивов (ценные бумаги и их производные), доход-ность которых является случайной величиной, и без-рискового актива (банковский счет, надежные облига-ции) с неслучайной, но, возможно, переменной доход-ностью. Управление портфелем осуществляется путемперераспределения капитала между различными вида-ми инвестиций посредством банковского счета.Предполагается, что цены рисковых активов опи-сываются стохастическими разностными уравнения-ми со случайными скачкообразно меняющимися па-раметрами. Параметры уравнений меняются в соот-ветствии с эволюцией дискретной марковской цепи сизвестной матрицей переходных вероятностей. Эво-люция цен рисковых финансовых активов описывает-ся разностными уравнениями вида1( 1) ( ) 1 ( , ) ( , ) ( ) ,ni i i k ij k jjS k S k k k k=⎡ ⎤+ = +ƒ ƒ + ⎢ ƒ ƒ ƒ ⎥⎢⎣ ⎥⎦ƒ (1)где Si(k) - цена i -го рискового актива; ƒi(k,ƒk) -характеризует норму возврата (коэффициент роста);ƒ j(k) - некоррелированная случайная гауссовскаяпоследовательность с нулевым средним и единичнойдисперсией; ƒk - марковская цепь с дискретным вре-менем и конечным множеством наблюдаемых состоя-ний ℜ ={ƒ1,…,ƒƒ}, которая описывается следующейматрицей вероятностей перехода:[ ], Prob{ 1 | },, 1, , .P pij pij k j k ii j= = ƒ + =ƒ ƒ =ƒ= … ƒЗдесь pi= Prob{ƒ0 = ƒi},i=1,…,ƒ - начальное рас-пределение; ƒ(k,ƒk) =[ƒij(k,ƒk)] - матрица вола-тильности (изменчивости), где ƒij(k,ƒk) - известнаяфункция ƒk . Процессы ƒ j(k) и ƒk независимы. Мо-дель цен со скачкообразной волатильностью рассмат-ривается в работах [12 - 14, 17].Пусть x(k)Rn+1 - вектор состояния ИП, компо-ненты которого равны объему инвестиций в i -й ак-тив, i= 1,…,n+1; компонента xn+1(k) описывает со-стояние банковского счета. Тогда, учитывая (1), эво-люция рисковых вложений описывается уравнениями1( 1) 1 ( , ) ( , ) ( )[ ( ) ( )] ,ni i k ij k jji ix k k k kx k u k=⎡ ⎤+ = ⎢ +ƒ ƒ + ƒ ƒ ƒ ⎥⎢⎣ ⎥⎦ +ƒ (2)эволюция банковского счета следует уравнению1 [ ] 11( 1) 1 ( ) ( ) ( ) ,nn n iix+ k rk x+ k u k=⎡ ⎤+ = + ⎢ − ⎥⎣ ⎦ƒ (3)где r(k) - доходность банковского счета. Еслиui(k) >0, то это означает перевод капитала в суммеui(k) с банковского счета в i-й вид рисковых вложе-ний, если ui(k)

Скачать электронную версию публикации