В качестве математической модели сети случайного доступа, управляемой статическим протоколом с оповещением о конфликте, рассматривается однолинейная система массового обслуживания (СМО) с источником повторных вызовов (ИПВ). Для исследования переходных режимов в предлагаемой математической модели применяется модифицированный метод асимптотического анализа изменения числа заявок в ИПВ. Получено дифференциальное уравнение, определяющее функцию асимптотического среднего нормированного процесса изменения числа заявок в ИПВ. Показано, что при определенных значениях загрузки системы это уравнение имеет две точки покоя, одна из которых является устойчивым, а другая - неустойчивым решением. Найден диффузионный процесс авторегрессии, аппроксимирующий асимптотическое отклонение состояний модели от среднего. Установлено, что в окрестности устойчивой точки покоя этот процесс является стационарным.
Local diffusion appoximation of queing system current condition process.pdf Среди локальных компьютерных сетей связи домини-рующее место занимают сети случайного доступа, такие,как «Ethernet» и «Aloha». В этих сетях при возрастании за-грузки канала связи отмечается существенная неустойчи-вость функционирования [1]. В сетях случайного доступа,управляемых статическими протоколами, как правило, от-сутствует стационарный режим работы даже при достаточ-но малых величинах загрузки канала связи. Тем не менее,такие сети могут функционировать стабильно достаточнопродолжительное время при некоторых значениях загрузки.Исследованию математической модели таких сетей и по-священа данная работа. Показано, что асимптотическое от-клонение состояний СМО от среднего можно аппроксими-ровать диффузионным процессом авторегрессии, то естьпроцессом, у которого коэффициент переноса линейно за-висит от его состояния, а коэффициент диффузии остаетсяпостоянной величиной. Для этого процесса существует фи-нальное распределение вероятностей, и он назван локаль-ной аппроксимацией процесса изменения состояний СМО.Установлено, что в окрестности точки стабилизации этотпроцесс является однородным стационарным.ОПИСАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИРассмотрим СМО, на вход которой поступает про-стейший поток заявок с параметром . Обозначим kномер состояния прибора. Прибор может находится водном из трех состояний: свободен ( k = 0 ), занят об-служиванием заявки ( k =1), на приборе реализуетсяэтап оповещения о конфликте ( k = 2 ). Вновь посту-пившая заявка, заставшая прибор свободным, немед-ленно начинает обслуживаться. Если за время ее об-служивания другие заявки не поступали, то эта заяв-ка, завершив обслуживание, покидает систему. Есливо время обслуживания поступает другая заявка, тообслуживаемая и поступившая заявки попадают вконфликт и на приборе начинается этап оповещения оконфликте. Заявки, попавшие в конфликт, а также по-ступившие на этапе оповещения о конфликте, пере-ходят в источник повторных вызовов, из котороговновь обращаются к прибору для повторения обслу-живания через интервал времени, распределенныйэкспоненциально с параметром . Обозначим i чис-ло заявок в ИПВ. Будем считать, что время обслужи-вания заявок рекуррентное с функцией распределенияB(s), а длина интервала оповещения о конфликте име-ет функцию распределения A(s). Для простоты изло-жения ограничимся рассмотрением экспоненциаль-ных распределений с параметрами =1 для времениобслуживания и 1 =1/ a для длины этапа оповеще-ния о конфликте. Состояния рассматриваемой СМОопределим вектором (k,i), изменение во времени ко-торого образует дискретный однородный марковскийпроцесс {k(t), i(t)} с неограниченным числом состоя-ний. При любом наборе значений параметров , a, для рассматриваемой СМО не существует стационар-ного режима. Рассмотрим нестационарное распреде-ление вероятностей состояний процесса {k(t), i(t)}:Pk (i,t) =P{k(t)=k, i(t)}=i}, k=0,1,2,i=0,1,... .Применяя стандартный t-метод исследованияСМО, получим систему уравнений0 01 21 10 02 22 11( , ) (1 ( ) ) ( , )( , ) 1 ( , ) ( );( , ) (1 ( 1) ) ( , )( , ) ( 1) ( 1, ) ( );( , ) (1 ( 1) ) ( , )( ( 1, ) ( 2, ))( 1) (P i t t i t P i tt P i t t P i t o taP i t t i t P i tt P i t i t P i t o tP i t t t P i tat P i t P i ti tPi+ = − + ++ + + + = − + + ++ + + + + + = − + ++ − + − ++ − −1,t)+o(t),из которой при t 0 имеем00 1 2( , ) ( ) (,) (,) 1 (,);P i ti P it P it P itt a+ + = +11 00( , )( 1) (,) (,)( 1) ( 1, );P i t i Pit Pitti Pi t+ + + = ++ + +(1)22 2 11( , ) ( 1) (,) ( 1,) ( 2,)( 1) ( 1, ).P i t P i t P i t P i tt ai Pi t+ + = − + − ++ − −Система уравнений (1) однозначно определяетраспределение вероятностей Pk (i,t), k=0,1,2, состоя-ний СМО и относится к классу систем дифференци-ально-конечно-разностных уравнений с переменнымикоэффициентами. Аналитических методов решениятаких систем нет, поэтому проведем ее асимптотиче-ский анализ [2] в условиях большой задержки, то естьпри 0 .ИССЛЕДОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКОГОСРЕДНЕГО ЧИСЛА ЗАЯВОК В ИПВДля нахождения асимптотического среднего числазаявок в ИПВ обозначим = и рассмотрим величины = t ⋅ ; i⋅ =x; 1Pk(i,t) k(x, , )a= .Тогда для определения величин( , , ), 0,1,kx k= 2,получим систему уравнений00 12( , , )( ) ( , , ) ( , , )1 ( , , );xx x xxa + + = ++ 110 0( , , )( 1) (,,)( , , ) ( ) ( , , );x x xx x x + + + == + + + (2)222 11( , , ) 1 ( , , )( ,,) ( 2,,)( ) ( , ,).x xax xx x +⎛⎜⎝ + ⎞⎟⎠ == − + − ++ − − Обозначив0lim k(x, , ) k(x, ), xG = + = , пе-рейдем в системе (2) к пределу при 0 . Получитсяследующая система алгебраических уравнений отно-сительно величин k(x,),k=0,1,2:0 1 21 02 1( , ) ( , ) 1 ( , );( 1) ( , ) ( , );1 ( , ) ( , ).G x x xaG x G xx G xa = + + = = (3)В силу однородности системы (3) ее решениеможно записать в видеk(x,)=Rk(x,),k=0,1,2, (4)где 0 21 222 21 ;2 1;2 1;2 1R GaG GR GaG GR aGaG G+=+ +=+ +=+ +(5)(x,)=0(x,)+1(x,)+2(x,) .В системе (2) функции k(x ,,),k=0,1,2,разложим в ряд по степеням с точностью до сла-гаемых первого порядка, после чего сложим почленновсе уравнения системы. В результате получится0 2(x, , ) {x (x, ) (x, )x = − − −(2+ x)1(x,)}+o() .Подставляя сюда вместо k(x,) выражения изформулы (4) и переходя к пределу при 0 , полу-чим равенство1(x, ) {( R(G)) (x, ) },x = − − которое совпадает с вырожденным уравнением Фок-кера-Планка [3] для плотности вероятностей (x,)диффузионного процесса x() с коэффициентом пе-реноса −R1(G) и нулевым коэффициентом диффу-зии. Следовательно, процесс x() является детерми-нированной функцией, удовлетворяющей обыкновен-ному дифференциальному уравнениюx()= −R1(G) , (6)где G= +x(), а R1(G) определяется одним из ра-венств (5). Функция x() имеет смысл асимптоти-ческого ( 0 ) среднего значения нормированногочисла заявок i(t) в ИПВ для достаточно большихмоментов времени t = / . Величины Rk , k = 0, 1, 2 ,определяемые (5), имеют смысл распределения веро-ятностей состояний k(t) канала связи в тех же асим-птотических условиях, что и выше.Очевидно, при max 1( )GR G≥ < дифференциальноеуравнение (9) имеет две точки покоя x1, x2, 0 < x1< x2,определяемые корнями G1,G2 уравнения1 2 ( ) ,2 1R G GaG G= = + +x1=G1−,x2=G2−.В силу того, что при x < x1 производная x()>0 ипроцесс x() возрастает, а при x1
Шварц М. Сети связи: протоколы, моделирование и анализ. М.: Наука, 1992. 598 с.
Назаров А.А. Асимптотический анализ марковизируемых систем. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1991. 158 с.
Баруча-Рид А.Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. М.: Наука, 1969. 363 с.
Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1965. 465 с.
Гихман И.И., Скороход А.В. Стохастические дифференциальные уравнения. Киев: Наукова думка, 1968. 312 с.
Вы можете добавить статью