Для процесса изменения числа заявок в нестационарной немарковской бесконечнолинейной системе массового обслуживания найдены его математическое ожидание и ковариационная функция, показано, что при возрастании загрузки системы последовательность таких процессов сходится к гауссовскому.
Investigation of queries number process in unsteady non-Markovs infinitely line queue system.pdf В работе [1] в качестве математических моделей страхо-вых компаний, кредитно-депозитных организаций, Пенси-онного фонда и многих других экономических и социально-экономических систем предлагается рассматривать беско-нечнолинейные системы массового обслуживания (СМО).Например, количество возможных договоров между клиен-тами и кредитно-депозитной организацией практически не-ограниченно. Сроки, на которые заключаются договоры,имеют весьма широкий спектр продолжительностей, поэто-му достаточно адекватно могут моделироваться некоторойслучайной величиной с заданной функцией распределенияB(x) их значений. Поток клиентов, обращающихся в кре-дитно-депозитную организацию, имеет явно стохастическийхарактер и, как показывает статистические исследованияреальных данных, его можно моделировать потоками Пуас-сона с заданной интенсивностью (t).Таким образом, математической моделью многих эко-номических систем может служить бесконечнолинейнаяСМО, на вход которой поступает пуассоновский поток ин-тенсивности (t). Обслуживание каждым прибором рекур-рентное с одинаковой для всех приборов функцией распре-деления B(x) времени обслуживания.СРЕДНЕЕ ЧИСЛО ЗАЯВОК В СИСТЕМЕ МАС-СОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯВ работе [1] показано, что распределение P(i, t)вероятностей того, что в момент t в системе обслужи-вается i заявок, имеет вид пуассоновского распреде-ления( , ) ( ) ( )!iP i t t e tiϕ −ϕ= , (1)где функция ϕ(t) определяется следующим образом[ ]0(t) (t x) 1B(x)dxϕ = − − . (2)Известно, чтоMi(t)= ϕ(t), (3)Mi2(t)= ϕ2(t)+ ϕ(t). (4)То есть среднее число Mi(t) и дисперсия этого числаD i(t) имеют вид[ ]0Mi(t) D i(t) (t) (t x) 1 B(x) dx= =ϕ = − − . (5)КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ ЧИСЛА ЗАЯ-ВОК В СИСТЕМЕ ОБСЛУЖИВАНИЯНе менее важной характеристикой случайногопроцесса является его корреляционная функцияR(t, t + ) =M{i(t)i(t + )}, (6)которая совместно с функцией математического ожи-дания достаточно хорошо, а для гауссовских - полно-стью определяют случайный процесс.Найдем функцию R(t, t + ) для рассматриваемойСМО в случае детерминированного обслуживанияпродолжительности b, т.е., когда( ) {10,, еессллии .,B x xx bb= ≤>в этом случае функция ϕ(t) имеет вид0( ) ( ) ( ) ( , )b tt bt t xdx sds t bt−ϕ = − = = − . (7)Отметим, что эта величина совпадает со среднимзначением числа заявок входящего потока, поступив-ших на интервале (t−b,t). Заметим, что при ≥ bзначения i(t) и i(t + ) рассматриваемого случайногопроцесса стохастически независимы, поэтомуR(t,t + )=M{i(t)i(t + )}=Mi(t)Mi(t + )==ϕ(t)ϕ(t+)=(t−b,t)(t−b+,t+). (8)Поэтому рассмотрим < b и определим два слу-чайных процесса, обозначив n(t, t + ) - число заявоквходящего потока, поступивших в систему на интер-вале (t, t+ ) , m(t, t + ) - число заявок, завершив-ших обслуживание в течение интервала времени(t, t+ ) .Очевидно имеет место равенствоi(t + )=i(t)+n(t,t + )−m(t,t + ),следовательноR(t, t + ) =M{i(t)[i(t)+n(t, t + )−m(t, t + )] } ==Mi2(t)+M{i(t) n(t, t+)}−M{i(t)m(t, t+ )}, (9)где i(t) имеет пуассоновское распределение с пара-метрами ϕ(t)= (t−b,t), поэтому первое слагаемое в(9) определяется равенством (4).Вид второго слагаемого найти нетрудно, учитываято, что, в силу свойства отсутствия последействия дляпуассоновского потока, величины i(t) и n(t,t + )стохастически независимы, поэтомуM{i(t)n(t, t +)}=Mi(t)Mn(t, t +)=ϕ(t)(t,t+)=(t−b,t)(t,t+). (10)Для нахождения третьего слагаемого в (9) посту-пим следующим образом.Отметим, что для рассматриваемой СМО имеетместо следующее равенство:m(t, t + ) =n(t −b, t −b+ ) ,поэтомуM{i(t)m(t, t +)}=M{i(t)n(t −b, t −b+)}==M{i(t)M[n(t−b, t−b+)| i(t)]} .Здесь в силу равенства случайных событий{: i(t)=i}={: n(t−b,t)=i}можно записать=M{n(t−b, t−b+)| i(t)}==M{n(t−b, t−b+)|n(t−b,t)=i(t)}=( ) ( , )( , )i t t b t bt b t − − + −,следовательноM{( ) ( , )} M 2( ) ( , )( , )i t m t t i t t b t bt b t − − ++ = = −( , )( 2( ) ( ))( , )t b t b t tt b t − − += ϕ + ϕ = −= (t−b,t−b+ )[(t−b,t)+1]. (11)Подставляя (4), (7), (10), (11) в (9), получимR(t, t + ) = ϕ2(t)+ ϕ(t)+ (t −b, t) (t, t + )−−(t−b,t−b+ )[(t−b,t)+1] == 2(t−b,t)+ (t−b,t)+ (t−b,t)(t,t+ )−−(t−b,t−b+)(t−b,t)−(t−b,t−b+)== (t−b,t)[(t−b,t)+ (t,t+ )− (t−b,t−b+ )]++(t−b,t)− (t−b,t−b+ )== (t−b,t)(t−b+ ,t+ )+ (t−b+ ,t).Таким образом, имеем( , ) ( , )( , ) ( , ), если ,( , ) ( , ), если .t b t t b tR t t t b t bt b t t b t b − − + + + ⎧⎪+ = + − + < ⎨⎪⎩ − − + + ≥Для ковариационной функции K(t, t + ) получимK(t, t + ) =R(t, t + )−Mi(t)Mi(t + ) ={( ,),если ,0, если .t b t bb= − +
Вы можете добавить статью