Mathematical model of advertising campain taking into account the effect of «boring» of advertisement.pdf Реклама, как известно, является «двигателем торговли» ив настоящее время продвижение продукции на рынок в от-сутствие рекламы практически невозможно. С другой сторо-ны, математическая теория рекламы в настоящее время толь-ко начинает развиваться, и работ, посвященных математиче-ским моделям влияния рекламы на продажи и планированиярекламных кампаний, еще немного[1−3]. В этих работах ещене исследованы многие черты влияния рекламы на человека,в частности, тот эффект, который можно назвать «надоедани-ем» рекламы, когда продолжающаяся однообразная рекламанадоедает человеку, он перестает обращать на нее внимание,и она не влияет на его покупки. В этом случае необходимо«сменить пластинку» и вместо надоевшего рекламного роли-ка подготовить и пустить другой. Таким образом, всякая рек-лама развивается циклами, когда один рекламный ролик про-катывается некоторое время, а затем он сменяется другим. Вданной статье делается попытка исследовать этот эффект иучесть его при планировании рекламной кампании.МОДЕЛЬ РЕКЛАМНОЙ КАМПАНИИПРИ ФИКСИРОВАННОЙ ЦЕНЕ ТОВАРАРассмотрим фирму, производящую некоторый то-вар. Пусть q есть количество товара, производимого вединицу времени, c - затраты на производство едини-цы товара, p - розничная цена продажи единицы това-ра, D - накладные расходы фирмы, то есть затраты нанепроизводственные расходы. Рассмотрим случай, ко-гда количество выпускаемого товара и цена продажификсированы.Прибыль фирмы в единицу времени равна (p − c)q − D.Так как D является постоянной величиной, то оно вдальнейшем выписываться не будет.Будем считать, что производство рентабельно и нарынке установилось равновесие, так что весь товар,производимый фирмой, продается, но большего коли-чества товара рынок не потребляет.Пусть на рекламу в единицу времени выделяется ƒ(t)денег. Величину, характеризующую эффективность рекла-мы, в дальнейшем будем обозначать как R(t). В качествемодели, определяющей зависимость влияния рекламы отвремени, возьмем следующую модель:( ) ( ) ( ) ( ) ,0 dt t R t tdR t + ƒ = ƒ ƒ (1)где ƒ(t) есть количество денег, выделяемых на рекламу вединицу времени. Так как неизвестно, в каких единицахизмерять R, то ее размерность возьмем такую же, как и уƒ; и из этих соображений коэффициент перед ƒ(t) взят стакой же размерностью, как и перед R(t).На величину R, описывающую влияние рекламы, ока-зывают влияние два фактора. Во-первых, она зависит отколичества средств, вкладываемых в рекламную компа-нию, и чем больше их вкладывается, тем больше влияниерекламы. Во-вторых, имеет место эффект «забывания»рекламы, когда с прекращением рекламной компании еевлияние постепенно уменьшается.То, что коэффициент ƒ(t) зависит от времени t как раз иотражает эффект «надоедания» рекламы, так как увеличениеƒ(t) приводит к увеличению скорости забывания рекламы.Для определенности будем считать, что ƒ0 = ƒ(0) .Обозначим через П(t) прибыль фирмы в единицу вре-мени. Тогда рассматриваемая ситуация описывается сле-дующей системой дифференциальных уравнений:⎪⎩⎪⎨⎧+ ƒ = ƒ ƒ= − − ƒ −ƒ( ) ( ) ( ) ( ),( ) ( ) ( ( )) ( ) ,0 dt t R t tdR tdt p c q R t t Dd t(2)где ƒ0 = ƒ(0) и ƒ(0) = 0 .СТАЦИОНАРНЫЙ РЕЖИМ РЕКЛАМЫИз первого уравнения системы (2) имеем( , ) [( ) ( ( )) ( )] .0 ƒ = − − ƒ −TT q p c q R t t dt DTПодставляя сюда второе уравнение из системы (2),получим⎢⎣⎡  −ƒƒ = − −TT p c q R t R t0 0( ) ( ) ( ( )) 1 ( )( ) ( ) .0DT dt t R t − ⎥⎦⎤ƒƒ− (3)Последнее слагаемое в (3) не зависит от вида ƒ(t), поэто-му при решении задачи оптимизации его можно не учиты-вать; в дальнейшем оно не будет выписываться.Рассмотрим теперь решение задачи П( ) max.R(t}T Уравнение Эйлера для функционала (3) имеет вид( ) ( ( )) ( ) 0.0=ƒƒp − c q R t − t (4)Обозначим корень этого уравнения через R0(t), оннаходится из уравнения( ( )) ( ) 1 ,00 p cq R t ƒt −ƒ = (5)и определяет оптимальный уровень воздействия рек-ламы в «стационарном» режиме.Однако на этот режим еще надо выйти. Поэтомурассмотрим случай, когда цикл жизни рекламного ро-лика выглядит следующим образом.Пусть рекламный ролик начинает прокручиваться в мо-мент времени t=0. Влияние рекламы в этом случае начина-ется с того значения, которое осталось после предыдущегоролика, т.е. с R(0). В первой фазе «жизни» этого ролика, ко-торая составляет интервал времени [0, T1], на проведениерекламной компании выделяется в единицу времени макси-мальное количество денег ƒm. Так продолжается до тех пор,пока мы не выйдем на стационарный режим.Стационарный режим ведется на интервале [T1, T2],при этом поддерживается уровень влияния рекламы, рав-ный R0(t). Из-за эффекта «надоедания» уровень влияниярекламы постепенно снижается, и когда он достигает зна-чения R(0), надо запускать новый ролик. Таким образом,новый цикл определяется условием R(T2)=R(0).Рассмотрим каждый период в отдельности.ПЕРИОД РАСКРУТКИ РЕКЛАМЫЭта фаза происходит на интервале времени [0, T1].Для нее выполнены условия R(0)=R0(T2) и ƒ(t)=ƒm. То-гда решение уравнения (1) имеет вид( ) + ⎟⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛ƒ ƒ ƒ − = tR t R T0( ) ( 2 )exp d  ⎟⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛+ ƒ ƒ − ƒt tum v v u00 exp ( )d d . (6)Момент времени выхода из этого участка определя-ется соотношением R(T1)=R0(T1), т.е. уравнением( ) + ⎟⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛= −  ƒ ƒ ƒ100 ( 1) 0 ( 2 )exp dTR T R T  ⎟⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛+ ƒ ƒ − ƒ1 100 exp ( )d d .T Tum v v u (7)Доход фирмы на этом участке равен= [ − − ƒ ] −10П1 ( ) ( ( )) d 1.Tp c q R t m t DT (8)СТАЦИОНАРНЫЙ РЕЖИМЭта фаза цикла происходит на временном интервале[T1, T2]. Для нее R(t)=R0(t), расходы фирмы равны( ) 1 ( ) ( ) 0 ( ) ,000t R t ƒt R tƒ +ƒƒ =а доход равен − ⎢⎣⎡ ƒ= − −2000П2 ( ) ( ( )) 1 ( )Tp c q R t R t( ) ( ) d ( ) .0 2 10T T D t t R t − − ⎥⎦⎤ƒƒ− (9)ОПТИМИЗАЦИЯ ЦИКЛАБудем считать, что на разработку нового рекламно-го ролика расходуется сумма G. Тогда суммарный до-ход фирмы на протяжении всего цикла равен= + = [ − ] +10П П1 П2 ( ) ( ( )) dTp c q R t t⎢⎣⎡  −ƒ+ − −21( ) ( ( )) 1 0 ( )0TTp c q R t R t( ) ( ) d .0 20G DT t t R t − − ⎥⎦⎤ƒƒ− (10)В качестве критерия оптимальности примем доходфирмы P в единицу времени. Тогда, не учитывая по-стоянного слагаемого (−D), получим[ ]+⎪⎩⎪⎨ ⎧ƒ =  −10( ) ( ( ))Tp c q R t dt − ⎢⎣⎡ ƒ+ − −21( ) ( ( )) 1 0 ( )00TTp c q R t R t0 20(t) R (t) dt G T⎭ ⎬ ⎫− ⎥⎦⎤ƒƒ− . (11)Заметим, что T2 входит в первое слагаемое черезR0(T2), входящее в R(t).Требуя выполнения условия2maxTƒ  , что приво-дит к уравнению dP/dT2, мы получим уравнение дляопределения общей длины цикла T2:⎪⎩⎪⎨ ⎧+ ⎟⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛−    −ƒ ƒ ƒ10 02 ( ) 0 ( 2 ) ( ( ))exp ( )T tT p c R T q R t d dt=⎭ ⎬ ⎫ƒƒ −ƒ+ ( − ) ( ( )) − 1 ( ) ( ) 0 ( 2 )020 20p c q R0 T2 R T T R T= [p − c q R t − ƒ ]dt +Tm10( ) ( ( ))p c q R t R t t R t dt GTT− ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ƒƒ −ƒ+  − −21( ) ( ( )) 1 ( ) ( ) 0 ( )0000 . (12)Разумеется, решить это уравнение можно лишь чис-ленно. Зная T2, можно найти и все остальные характе-ристики цикла.МОДЕЛЬ РЕКЛАМНОЙ КАМПАНИИС ПЕРЕМЕННОЙ ЦЕНОЙ ТОВАРАОписание ситуацииПусть зависимость спрос - цена имеет вид p+bq=a,или, в явном виде, p = a − bq. Тогда доход фирмы вединицу времени составит величину (a − bq − c)q − D.Находя максимум этой величины по объему произ-водства q, легко получить, что этот максимум достига-ется при q = (a − c)/2b и доход фирмы в единицу вре-мени при таком объеме производства равен[(a − c)2/4b] − D. (13)При этом естественно считается, что эта величинаположительна, т.е. производство рентабельно. Так какD является постоянной величиной, то оно в дальней-шем выписываться не будет.Модель влияния рекламыРассмотрим теперь ситуацию, когда фирма для увеличе-ния своих доходов тратит часть своих средств на рекламнуюкомпанию. Реклама оказывает психологическое воздействиена покупателя, которое приводит к изменению зависимостиспрос - цена. Рассмотрим сначала случай, когда влияние ре-кламы приводит к смещению зависимости спрос - ценапараллельно самой себе. Это факт мы будем учитывать тем,что будем считать величину а зависящей от R, т.е. брать за-висимость спрос - цена в видеp + bq = a(R) , или p = a(R) − bq. (14)В дальнейшем будем считать, что a(R) монотонновозрастает с ростом R, но a(R) монотонно убывает сростом R и существует конечный предел lim a(R)R.В качестве уравнения для величины R(t) вновь возь-мем уравнение (1). Тогда объем товара q(t), производи-мого фирмой в момент времени t:bq t a R t c2( ) ( ( ))−= , (15)где R(t) определяется уравнением (1).Тогда получаем следующую систему уравнений,описывающую рассматриваемую ситуацию:⎪ ⎪⎩⎪⎪⎨⎧+ ƒ = ƒ ƒ− ƒ−=ƒ( ) ( ) ( ) ( ),( ),4( ) ( ( ) )02t R t tdtdR ttba R cdtd t(16)с начальными условиями ƒ0 = ƒ(0) , R(0) = 0, П(0) = 0.СТАЦИОНАРНАЯ СИТУАЦИЯИз первого уравнения системы (16) имеем − ⎥⎦⎤⎢⎣⎡− ƒ−ƒ =Tb t dt DTT q a R t c024 ( )( , ) ( ( ( )) ) .Подставляя сюда второе уравнение из системы (16),получим⎢⎣⎡ −ƒ−−=Tb R tT a R t c0 021 ( )4П( ) ( ( ( )) )( ) ( ) d .0DT t t R t − ⎥⎦⎤ƒƒ− (17)Последнее слагаемое в (17) не зависит от вида ƒ(t) ипоэтому при решении задачи оптимизации его можно неучитывать; в дальнейшем оно не будет выписываться.Рассмотрим теперь решение задачи( )( ) maxR tƒ T  .Уравнение Эйлера для функционала (17) имеет вид( ( ( )) ) ( ( )) 2 ( ) .0 ƒƒa R t − c a R t = b t (18)Обозначим корень этого уравнения через R0(t); он иопределяет оптимальный уровень воздействия рекламыв «стационарном» режиме.ПЕРИОД РАСКРУТКИ РЕКЛАМЫЭта фаза происходит на интервале времени [0, T1].Для нее выполнены условия R(0) = R0(T2) и ƒ(t) = ƒm.Тогда решение уравнения (1) снова имеет вид (6) и мо-мент времени выхода из этого участка определяетсясоотношением R(T1) = R0(T1).Доход фирмы на этом участке равен102114( ( ( )) ) dt DTba R t c Tm − ⎥⎦⎤⎢⎣⎡− ƒ−ƒ =  . (19)СТАЦИОНАРНЫЙ РЕЖИМЭта фаза цикла происходит на временном интервале[T1, T2]. Для нее R(t) = R0(t), расходы фирмы равны( ) 1 ( ) ( ) 0 ( ) ,000t R t ƒt R tƒ +ƒƒ =а доход⎢⎣⎡ −ƒ−−=211 ( )4П ( ( ( )) ) 00202TTb R ta R t c( ) ( ) d ( ).0 2 10T T D t t R t − − ⎥⎦⎤ƒƒ− (20)ОПТИМИЗАЦИЯ ЦИКЛАБудем считать, что на разработку нового рекламно-го ролика расходуется сумма G. Тогда суммарный до-ход фирмы на протяжении всего цикла равен+ − − ⎥⎦⎤⎢⎣⎡− ƒ−ƒ + ƒ =  dt DT Gba R t c Tm 2021 214( ( ( )) )1 ( ) ( ) ( ) .42 ( ( ( )) )1000020 R t t R t dtba R t c TT ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ƒƒ −ƒ−−+ (21)В качестве критерия оптимальности возьмем крите-рий вида2max21 2T Tƒ + ƒƒ = . (22)Это приводит к уравнению для определения T2:[ ] +ƒƒ −ƒ−⎪⎩⎪⎨ ⎧−1 ( ) ( ) ( )4( ( )0 2020 2020 22 R T T R TbT a R T c=⎪⎭⎪⎬ ⎫⎟ ⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛− ƒ ƒ ƒ+   −  10 00 2 exp ( )2( ) ( ( ( )) ) ( ( ))T td dtbR T a R t c a R t+ − ⎥⎦⎤⎢⎣⎡− ƒ−=  dt Gba R t c Tm1024( ( ( )) )1 ( ) ( ) ( ) ,42 ( ( ( )) )1000020 R t t R t dtba R t c TT ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ƒƒ −ƒ−−+ (23)решить которое можно лишь численно.

Скачать электронную версию публикации