The study of a mathematical model of the process of transformation of accumulated capital of pension foundation at non-stationary input flow.pdf Под накопленным капиталом Пенсионного фонда будемпонимать совокупность средств, включающую в себя суммыстраховых взносов, перечисленных в Пенсионный фонд нафинансирование накопительной части трудовой пенсии идоходы от операций по инвестированию временно свободныхсредств пенсионных накоплений.Согласно Федеральному закону [1] от 20.07.04, внесшемуизменения в принятый ранее закон об обязательном пенсион-ном страховании [2], накопительная часть пенсии формиру-ется только для лиц 1967 г. рождения и моложе.Важной составляющей, обеспечивающей формированиенакопленного капитала, является получение доходов от инве-стирования средств пенсионных накоплений. Очевидно, чтовыплата накопительной части пенсии начнется не ранее 2022г., поэтому целесообразно учесть изменение во времениуровня доходности (обозначим его ƒ) инвестиционных порт-фелей, т.е. считать ƒ = ƒ(t).По мнению специалистов, существует достаточно силь-ная корреляционная связь между доходностью ƒ(t) и уровнеминфляции k(t).Рассмотрим наиболее простую модель изменения уровняинфляции k(t), определяемую следующим образом:( ) ( )⎪⎩⎪⎨⎧== − ƒ −(0) ,( ) ,01k kk t kdtdk t(1)где ƒ > 0 - параметр, определяющий темп снижения уровня ин-фляции; параметр k1 имеет смысл экономически обоснованногоуровня инфляции. В развитых странах он составляет 2−3 %.Решая задачу (1), найдем уровень k(t) инфляции в виде( ) ( ) t .1 0 1k t = k + k − k e−ƒ В наших исследованиях будем пред-полагать, что темпы изменения во времени средней заработ-ной платы совпадают с соответствующим уровнем инфляции.Значение параметра ƒ, определяющего темп снижения ин-фляции, необходимо выбирать из целесообразных экономи-ческих соображений и в этом плане ƒ является одним из важ-нейших управляющих параметров развития экономики.С точки зрения пенсионной реформы, при малых значенияхƒ уровень инфляции уменьшается медленно, и долгосрочныенакопления с течением времени значительно обесцениваются.При больших значениях ƒ уровень инфляции снижается быстро,при этом значительно снижается доходность инвестиционныхпроектов, так как, доходность, как правило, определяется нетекущим уровнем инфляции, а его ожидаемым значением, по-этому происходит незначительное увеличение долгосрочныхнакоплений за счет дополнительных доходов от инвестиций.На рынке ценных бумаг различают два вида их доходно-сти ƒ. Фактическая доходность ƒ называется номинальнойдоходностью и, в соответствии с формулой Фишера, считает-ся равной сумме уровня инфляции k(t) и реальной доходностиƒ(t). Здесь под реальной доходностью ƒ(t) понимается тадоходность, в которой устранена инфляция.В наших исследованиях в качестве доходности ƒ инве-стиционных портфелей будем рассматривать реальную до-ходность ƒ(t), исключающую влияние инфляции и будемсчитать, что ƒ(t) = ƒ k(t), где параметр ƒ принимает значениепорядка единицы.МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬПри построении математической модели процессаизменения накопленного капитала ПФР будем исхо-дить из следующих предположений:− поток заявок на страхование является пуассонов-ским с параметром ƒ(t);− сумма страховых взносов, ежемесячно перечис-ляемая в ПФР на финансирование накопительной частитрудовой пенсии, является значением случайной вели-чины с функцией распределения A(x);− величина накопительной части трудовой пенсии, еже-месячно выплачиваемой пенсионерам, является значениемслучайной величины с функцией распределения B(x);− величина выплат пенсионных накоплений в слу-чае смерти застрахованного лица его правопреемни-кам, является значением случайной величины с функ-цией распределения D(x);− продолжительность трудовой деятельности и про-должительность получения пенсии являются случайны-ми величинами, распределенными по экспоненциально-му закону с параметрами ƒ1 и ƒ2 соответственно;− вероятность достижения пенсионного возрастаравна r;− ставка доходности инвестиционных портфелейравна ƒ(t).В качестве математической модели процесса изме-нения накопленного капитала ПФР рассмотрим трех-мерный случайный процесс {i(t), j(t), S(t)}, где i(t) -число работающих застрахованных лиц, j(t) - числопенсионеров, S(t) - капитал фонда.ОбозначимP(i(t) = i, j(t) = j, S ≤ S(t) ≤ S + dS) = P(i, j, S, t)dS.При входящем потоке на страхование ƒ(t) = ƒƒ(t),где ƒ - бесконечно большая величина; распределениевероятностей P(i, j, S, t) удовлетворяет уравнению( ) ( ) ( ( ))++ ƒSt SP i j S ttP i, j, S, t , , ,+ (ƒƒ(t) + (ƒ1+ 12)i + (ƒ2+ 12)j P(i, j, S, t) =( ) ( ) ( ) ( )+ − + − ƒƒ = St P i j S t i P i j S u t dA u t01, , , 12 , , , ,( ) ( ) + + + 012 j P i, j, S u,t dB u,t+ ƒ1r(i + 1)P(i+ 1, j − 1, S, t) ++ ƒ2(j + 1)P(i, j + 1, S, t) +( )( ) ( ) ( ) + ƒ − + + +01 1 r i 1 P i 1, j, S u,t dD u, t . (2)ИССЛЕДОВАНИЕМАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИИсследование полученной модели проведем мето-дами асимптотического анализа.Как показано в работе [3], при ƒ   предельныйпроцесс {ƒ(t), ƒ(t), ƒ(t)} для последовательности про-цессов ( ) ( ) ( )⎭ ⎬ ⎫⎩ ⎨ ⎧ƒ ƒ ƒ1 i t , 1 j t , 1 S t является детерминирован-ной трехмерной вектор-функцией вида:( ) ( ) ⎟⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛ƒ = −ƒ ƒ ƒ + ƒ ƒ  1 001 10tttt e t s e s ds e ,( ) ( ) ( )⎜ ⎜⎝⎛+ ⎟⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛ƒ = ƒ   ƒ + ƒ ƒ ƒ ƒ −ƒttt sstt r u e u du e e ds01 0 2 1011 0e 2t0 )e 2t0+ ƒ ƒ −ƒ ,ƒ( ) =  (( ( ) − ƒ ( − ) ( ))ƒ( ) −ttt a s r d s s012 1 1 1 1( ) ( ))  ƒ( )  ƒ( )− ƒ + ƒtttsu du u dub s s e ds e 012 1 0 , (3)где a1(t), b1(t), d1(t) - первые начальные моменты слу-чайных величин, определяемых функциями распределе-ния A(x, t), B(x, t), D(x, t); ƒ(t0) = ƒ0, ƒ(t0) = ƒ0, ƒ(t0) = ƒ0.Проведем теперь исследование процесса отклоне-ния процессов i(t)ƒ1 , 1 j(t)ƒи 1 S(t)ƒот найденныхсредних ƒ(t), ƒ(t) и ƒ(t). Для этого рассмотрим предель-ный, при ƒ  , процесс для последовательности( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎭ ⎬ ⎫⎩ ⎨ ⎧ƒ− ƒƒƒ− ƒƒƒi t − ƒƒ t , j t t , S t t . (4)Теорема. При ƒ   предельный процесс {x(t), y(t), z(t)}для последовательности (4) является трехмерным гаус-совским диффузионным процессом с коэффициентамипереносаA1(x, y, z, t)= −ƒ1x(t),A2 (x, y, z, t)= ƒ1rx(t) − ƒ2 y(t) ,A3 (x, y, z, t) =(12a1 (t)− ƒ1 (1 − r)d1 (t))x(t) −− b (t)y(t) + ƒ(t)z(t) 12 1 (5)и диффузииB (t) = ƒ(t)+ ƒ ƒ(t) 11 1 , B (t)= −ƒ rƒ(t) 12 1 ,B13 (t) = −ƒ1 (1 − r)ƒ(t) ,B (t) = ƒ rƒ(t)+ ƒ ƒ(t) 22 1 2 , 23 ( ) 0 B t = ,B (t) = ( a (t)− ƒ ( − r)d (t))ƒ(t)+ b (t)ƒ(t) 33 12 2 1 1 2 12 2 , (6)где a1(t), b1(t), d1(t), a2(t), b2(t), d2(t) - соответственнопервые и вторые начальные моменты случайных вели-чин, определяемых функциями распределения A(x, t),B(x, t), D(x, t).Доказательство. Обозначим (1/ƒ) = ƒ2 и выполним в(2) замену iƒ2 = ƒ(t) + ƒx, jƒ2 = ƒ(t) + ƒy, Sƒ2 = ƒ(t) + ƒz,P(i, j, S, t)/ƒ = H(x, y, z, t, ƒ). Получим уравнение:( ) ( ) ( )− ƒƒƒ− ƒxt H x y z ttH x, y, z, t, , , , ,( ) ( ) ( ) ( )+ ƒƒƒ− ƒƒƒ−zt H x y z tyt H x, y, z, t, , , , ,+ ƒ(ƒ(t)+ (ƒ1 +12)(ƒ(t)+ ƒx)++ (ƒ2 + 12)(ƒ(t) + ƒy))H(x, y, z, t, ƒ) +( ) {(ƒ( )+ ƒ ) ( ƒ)}=ƒƒ+ t z H x, y, z, t,zt= ƒƒ(t)H(x − ƒ, y, z, t, ƒ) +( ( ) ) ( ) ( )( )+ ƒ ƒ + ƒ  − ƒ ƒ +ƒƒ +ƒ2012 , , , , ,t zt x H x y z u t dA u t( ) ( ) ( ) ( )+ ƒ ƒ + ƒ + ƒ ƒ + 012 t y H x, y, z u, t, dB u,t+ ƒ1r(ƒ(t)+ ƒ(x + ƒ))H(x + ƒ, y − ƒ, z,t, ƒ)++ ƒ2r(ƒ(t)+ ƒ(y + ƒ))H(x, y + ƒ, z,t, ƒ)++ ƒ1 (1− r)ƒ(ƒ(t)+ ƒ(x + ƒ))( ) ( )  + ƒ + ƒ ƒ0H x , y, z u,t, dD u,t .Раскладывая функции H(y  ƒ, z  ƒu, t, ƒ) в ряд поприращениям аргументов с точностью до o(ƒ2) и вы-полнив элементарные преобразования, получим в ре-зультате предельного перехода при ƒ  0:( ) {− ƒ ( ) ( )}−= −x t H x y z tt xH x, y, z, t , , ,1{(ƒ ( )− ƒ ( )) ( )}−− rx t y t H x y z ty1 2 , , ,{( ( )− ƒ ( − ) ( ))() −− a t r d t x tz 12 1 1 1 1−12y(t)b1 (t)+ ƒ(t)z(t)}H(x, y, z, t) +( ( ) ( )) ( )++ ƒ + ƒ ƒ 221, , ,21xt t H x y z t( ( ) ( )) ( )++ ƒ ƒ + ƒ ƒ 221 2, , ,21yr t t H x y z t+ (( a (t)− ƒ ( − r)d (t))ƒ(t) + 12 2 1 1 221( )) ( ) ( ) ( )+ − ƒ ƒ+ ƒx yr t H x y z tz12 t H x, y, z, t , , ,22 12( ) ( ) ( )x zr t H x y z t + ƒ 1 − ƒ , , ,21 .Данное уравнение является уравнением Фоккера−Планка для плотности H(x, y, z, t) распределения веро-ятностей значений двумерного диффузионного процес-са {x(t), y(t), z(t)} с коэффициентами переноса (5) и диф-фузии (6), являющегося решением системы трех сто-хастических дифференциальных уравнений( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪⎩⎪⎨⎧= + ƒ + ƒ + ƒ= + ƒ + ƒ + ƒ= + ƒ + ƒ + ƒ,,,3 31 1 32 2 33 32 21 1 22 2 23 31 11 1 12 2 13 3dz t A t dt dw t dw t dw tdy t A t dt dw t dw t dw tdx t A t dt dw t dw t dw t(7)где w1(t), w2(t), w3(t) - независимые стандартные вине-ровские процессы.Исходя из полученных значений коэффициентовдиффузии (6), определим параметры ƒij системы (7).Пусть ƒ12 = ƒ13 = ƒ23 = 0, тогда11 (t) B11 (t) ƒ = , ( ) ( )B (t)ƒ = − , ( ) ( )B (t)B tt111331 ƒ = ,( ) ( ) ( )B (t)(B (t)B (t) B (t))B t B tt211 11 22 1212 1332−ƒ = − ,( ) ( ) ( ) ( )B (t)B (t) B (t)B t B tt B t 211 22 12222 1332 33 −ƒ = − , (8)В этом случае система (7) принимает вид( ) ( ) ( )( ) ( ( ) ( )) ( ) ( )( )(( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ))( ) ( ) ( ) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+ ƒ + ƒ + ƒ= − ƒ − − += ƒ − ƒ + ƒ + ƒ= −ƒ + ƒ,12 1 12,,31 1 32 2 33 31 1 1 11 2 21 1 22 21 11 1dw t dw t dw tdz t a t r d t x t b t y t dtdy t rx t y t dt dw t dw tdx t x t dt dw t(9)где коэффициенты ƒij определяются равенствами (8) ине зависят от значений процесса {x(t), y(t), z(t)}.Используя формулы Ито, найдем решение системы(9) в виде:( ) ( ) ( )⎪⎭⎪⎬ ⎫⎪⎩⎪⎨ ⎧= +  ƒ −ƒ ƒ ƒttx t e t x e t s e sdw s01 1 0 10 11 1 ,( ) ( )⎪⎩⎪⎨ ⎧= + ƒ  + −ƒ ƒ ƒtty t e t y e t r x s e s ds02 2 0 20 1 ( ) ( )  ( ) ( ) + ƒ ƒ + ƒ ƒttstts e sdw s s e dw s020221 1 22 2 ,( )( )= +  (( ( )− ƒ ( − ) ( ))( ) − ƒ ttu duz t z e a s r d s x stt000 12 1 1 1 1( ) ( ) )( )( )( )− +  ƒ ( ) + ƒ t  ƒtu du u dub t y t e ds s e dw stttt00 012 1 31 1( )( )( ) ( )( )  ( ) ƒ  ƒ+ ƒ + ƒttt u dutu dus e dw s s e dw stttt000032 2 33 3 , (10)где x(t0) = x0, y(t0) = y0, z(t0) = z0. Процессы x(t), y(t), z(t)при нормально распределенных начальных значениях,очевидно, являются гауссовскими. Теорема доказана.Используя явные выражения процессов x(t), y(t), z(t)(10) и свойства стандартных винеровских процессов,нетрудно получить выражение корреляционной функ-ции процесса z(t)Rz (t1 , t2 ) M{z(t1 )z(t2 )} = , (11)которое не приводим здесь из-за большого объема вы-кладок.В силу выполненной замены процесс S(t) изменениянакопленного капитала Пенсионного фонда Россий-ской Федерации имеет видS(t)= ƒƒ(t)+ ƒ z(t), (12)где детерминированная функция ƒ(t) определяетсяформулой (3), а z(t) - гауссовский случайный процесс,определяемый системой (9) стохастических дифферен-циальных уравнений, решение которой записано в виде(10). Очевидно, что математическое ожидание процессаS(t) составляет ƒƒ(t). Зная математическое ожидание икорреляционную функцию, нетрудно получить другиехарактеристики изучаемого процесса.

Скачать электронную версию публикации