The determination of optimal volume of goods and a retail priceof the continuously spoiling product.pdf В последнее время стала приобретать большое вни-мание тематика, которая получила название микро-структуры рынка [1]. В ней рассматриваются вопросыустановления цены продаваемого товара, измененияцены продажи в зависимости от времени и т.п. Даннаяработа находится в русле этой проблематики и про-должает работы [2, 3].ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫПусть имеется некоторая скоропортящаяся продук-ция (например, фрукты, овощи и т.д.), которая портит-ся с течением времени (овощи и фрукты гниют и т.п.).Продавец покупает партию товара объема Q0 по оп-товой цене d и продает ее по розничной цене с. Ставит-ся задача нахождения значений Q0 и с, при которыхсредняя прибыль продавца будет максимальной.НАХОЖДЕНИЕ ПРИБЫЛИ(ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЙ СЛУЧАЙ)Пусть Q(t) есть количество товара, имеющегося вналичии в момент времени t. Рассмотрим интервалвремени [t,t + ƒt] . Будем считать, что за этот промежу-ток времени произойдут следующие изменения.1. Испортится количество товара ƒQ(t) = ƒQ(t)ƒt ++o(ƒt) .2. За это время придут ƒ(c)ƒt + o(ƒt) покупателей икаждый из них купит детерминированное количествотовара a1 .Тогда имеет место соотношениеQ(t + ƒt) = Q(t) − (ƒQ(t) + a1ƒ(c))ƒt + o(ƒt) .Отсюда получаем следующее дифференциальноеуравнение для Q(t)( ) ( ) ( ) ,1 Q t a cdtdQ t = −ƒ − ƒ (1)которое надо решить при начальном условии Q(0) = Q0 .Решая это уравнение стандартными методами, по-лучим его решение в видеQ t Q e−ƒt a c ( − e−ƒt)ƒƒ( ) = − 1 ( ) 10 . (2)Найдем момент T0 окончания продажи этой партиитовара. Он определяется соотношением( )(1 ) 0 0 1 00 − =ƒƒQ e−ƒT − a c e−ƒT ,откуда получаем⎟ ⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛ƒƒ+ƒ=( )1 ln 1100 a cT Q . (3)Так как на покупку этой партии товара было потра-чено dQ0 денег, то прибыль от реализации этой партиисоставит величинуƒ = a1cƒ(c)T0 − d ⋅Q0. (4)КРИТЕРИЙ ОПТИМАЛЬНОСТИИ НАХОЖДЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ОБЪЁМАПАРТИИ ТОВАРАБудем считать, что после реализации партии товарапродавец тратит время Tb на приобретение следующейпартии. Тогда средняя прибыль продавца в единицувремени составит величину=+ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ƒƒ+ƒ− ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ƒƒ+ƒƒ ⋅ƒ =a c TbQa c dQa c c Q1 ln 1 ( )( ) 1 ln 1 ( )100101.ln 1 ( )( ) ln 1 ( )100101a c TbQa c d Qa c c Qƒ + ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ƒƒ+ƒ − ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ƒƒƒ ⋅ += (5)Будем считать, что критерием оптимальности рабо-ты продавца является максимизация прибыли, полу-чаемой за единицу времени, то есть критерий опти-мальности имеет видQ0 , cƒ  max .Решим сначала задачу о нахождении оптимальногообъёма партии товара Q0 . Представим (5) в видеTba cQa cQcda cQa c cƒ + ⎟⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛ƒƒ+ƒƒ⋅ − ⎟⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛ƒƒ+ƒ = ƒ ⋅( )ln 1( ) ( )ln 1( )1010101 .Пусть розничная цена продажи с фиксирована. Обозна-чим z = ƒQ0 a1ƒ(c) . Тогда ƒ можно представить в видеz Tba c c z d c z+ + ƒ+ − ⋅ƒ = ƒ ⋅ln(1 )1 ( ) ln(1 ) ( ) , (6)и, при фиксированном с, задача примет видz Tb zf z z d c z maxln(1 )( ) ln(1 ) ( ) + + ƒ+ − ⋅= . (7)Выясним сначала, при каких условиях этот макси-мум существует. Прежде всего заметим, что, так как приz ≥ 0 ln(1+ z) ≤ z , то при d c ≥ 1 f (z) ≤ 0 , что, впро-чем, совершенно естественно. Поэтому надо рассмат-ривать лишь случай d c < 1 .Заметим, что f (0) = 0 . Вычисляя производную отf (z) , получим(ln(1 ) )2ln(1 )1( )( )bbbz TTcz dcdzT d c zf z+ + ƒ− + − ƒ+ƒ + = , (8)откуда следует, что(0) 1 ( ) > 0ƒ− =Tbf d c ,т.е. в окрестности точки z = 0 f (z) монотонно возрастает.Далее, из (7) легко получить, что при z  +f (z)  − , что говорит о том, что максимальное зна-чение f (z) существует.Само оптимальное значение z находится из условияf (z) = 0 , которое приводит у уравнениюln(1 ) 01( ) − + − ƒ =+ƒ +bb Tcz dcdzT d c z . (9)В силу сказанного выше, это уравнение всегда име-ет корень.Покажем, что этот корень единственный. Для этогоперепишем уравнение (9) в видеT zdc T z z b b ) 1 ( 1 ) 1 ln( ) 1 ( ƒ − + ⎟⎠⎞⎜⎝+ + = ƒ ⎛ − . (10)Функция ϕ(z) = (1+ z) ln(1+ z) монотонно возрастаети выпукла вниз, так как при z ≥ 0 ϕ(z) ≥ 0 и ϕ(z) ≥ 0 .При z  + она растет как z ln z , т.е. быстрее, чемaz . С другой стороны, правая часть (10) представляетсобой график прямой линии, причем при z = 0 значе-ние выражения, стоящего в правой части (10) положи-тельно. Поэтому уравнение (10) имеет единственныйкорень и оптимальное значение z единственно.Обозначая оптимальное значение z через zopt (егоможно найти лишь численно), можно найти и опти-мальный объём партии товара:ƒƒ=opt 1 ( )optz a cQ . (11)НАХОЖДЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОЙРОЗНИЧНОЙ ЦЕНЫПусть теперь поддерживается opt z = z . Тогда ƒ за-висит от розничной цены с через сомножительcƒ(c) ln(1+ zopt ) − ƒ(c)d ⋅ zopt ,и поэтому задача нахождения оптимальной розничнойцены приобретает вид( ) ln(1 opt ) ( ) opt mcax.cƒ c + z − ƒ c d ⋅ z  (12)Приравнивая нулю производную от этого выраже-ния по с, получим уравнение( ) ln(1 )( )optoptzzdcc c+=ƒƒ+ . (13)В общем случае трудно решить вопрос о числе кор-ней этого уравнения. Рассмотрим поэтому лишь част-ный случай, когда+ ƒ ƒƒƒ =1 ( )( ) 0cc , (14)с ƒ > 1. Тогда легко получить, что11( )( )ƒƒ ƒ ƒ−−ƒ= −ƒƒcccc ,и уравнение (13) приобретает видln(1 )1 1 1optopt1 zd zcc+⋅=ƒ ƒ− ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ƒ− ƒ ƒ− . (15)При ƒ > 1 левая часть этого выражения для c  (0, + )монотонно возрастает от − до + , и поэтому урав-нение (15) имеет единственный корень copt, причем сростом opt z розничная цена opt c также возрастает.Вообще же, надо совместно решать следующуюсистему уравнений( ) ln(1 )( )optoptzzdcc c+=ƒƒ+ ,(1 opt ) ln(1 opt ) 1 (1 T )zoptdz z Tb c b ƒ − + ⎟⎠⎞⎜⎝+ + = ƒ ⎛ − .В силу сказанного выше, эта система, по-видимому,имеет единственное решение, хотя доказать этот фактне удалось.УПРАВЛЕНИЕ РОЗНИЧНОЙ ЦЕНОЙ ТОВАРАВыше рассматривалась ситуация, когда розничнаяцена продажи товара остается постоянной. Представля-ет интерес рассмотреть случай, когда розничная ценаменяется со временем.Пусть розничная цена c(t) есть функция времени t.Тогда, в детерминированном приближении, имеем сле-дующее дифференциальное уравнение для количестватовара в момент времени t:Q a1 (c(t))dtdQ = −ƒ − ƒ , (16)которое надо решить при начальном условии Q(0) = Q0 .Найдем решение этого уравнения, используя преоб-разование Лапласа. Пусть Q~( p) и ƒ~( p) есть преобра-зования Лапласа от функций Q(t) и ƒ(c(t)) . Применяяпреобразование Лапласа к уравнению (16), получим( p + ƒ)Q~( p) −Q0 = a1ƒ~( p) .Отсюда+ ƒƒ−+ ƒ=pa ppQ p Q ~( )~( ) 0 1 и решение уравне-ния (33) имеет вид= −ƒ − ƒ ƒ −ƒ −ƒ ƒtQ t Q e t a c e t d0( )( ) 0 1 ( ( )) . (17)Обозначим через T0 момент окончания продажи пар-тии товара, т.е. в этот момент времени Q(T0 ) = 0 . Тогдаимеем( ( )) 000 00( )0 − 1 ƒ ƒ ƒ = −ƒ −ƒ −ƒTQ e T a c e T d ,откуда получается связь величин Q0 и T0 :( ( )) 0000 = 1 ƒ ƒ ƒ = ƒƒTQ a c e d . (18)Выручка от продажи этой партии товара составитвеличину ƒ T = a c ƒ ƒ c ƒ dƒT( ) ( ) ( ( ))000 1 , так что средняяприбыль в единицу времени будет равнаbTT Tc c d dQa+ƒ ƒ ƒ ƒ −ƒ =00010( ) ( ( )).Учитывая (18), это выражение можно переписать такbT TT Tc c d d c e da+ƒ ƒ ƒ ƒ − ƒ ƒ ƒƒ =  ƒƒ00 010 0( ) ( ( )) ( ( )). (19)Так как T0 и Q0 связаны однозначно, то можно искатьмаксимум ƒ не по Q0 и c(ƒ) , а по T0 и c(ƒ) , т.е. ре-шать задачу0 , ( )maxƒƒ T c. Это приводит к условиям00=ƒT; 0( )=ƒ ƒƒƒc, (20)где символ ƒ означает вычисление вариации.Второе условие из (20) приводит к уравнению[( ( ) ) ( ( ))] 0( )ƒ − ƒ ƒ = ƒ c deƒƒ cc,которое в явном виде выглядит так:= ƒƒƒ ƒƒ ƒƒ + decc c( ( ))( ) ( ( )) . (21)Сравнивая это уравнение с уравнением (13) мы ви-дим, что розничная цена продажи должна возрастать современем. Объяснить это можно следующим образом.Пусть мы купили партию товара достаточно большогообъема Q0 . Так как товара много, то и количество ис-портившегося товара в единицу времени велико, и что-бы уменьшить потери от его порчи нам выгодно рас-продавать его даже по несколько меньшей цене. Помере продажи товара, его количество уменьшается,уменьшаются и потери от его порчи, и выгодно не-сколько увеличить розничную цену. Именно это и от-ражает уравнение (21).Если считать, что зависимость c(ƒ) найдена, то пер-вое условие из (20) дает уравнение для определенияоптимального значения T0 :( ƒ − ƒƒ)ƒ ƒ ƒ =00( ) ( ( ))Tc de c d= ( ( 0 ))( ( 0 ) )( 0 ) ,0bƒ c T c T − deƒT T +T (22)откуда, зная T0 , можно найти и объем партии Q0 (см. (18)).ДИФФУЗИОННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕВывод уравнения. В предыдущих разделах былорас-смотрено детерминированное приближения для про-цес-са продаж. На самом деле, конечно, процесс про-даж является случайным процессом, и этот факт требу-ет специального изучения.Обозначим через ƒ(t) общий объем продаж на мо-мент времени t. В этом разделе будет рассмотренодиффузионное приближение для процесса ƒ(t) . Как и впредыдущей главе рассмотрим следующую аппрокси-мацию этого процессаdƒ(t) = a1ƒdt + a2ƒdw(t), (16)где w(t) - стандартный винеровский процесс. Для крат-кости, у ƒ(c) в данном разделе не будет выписыватьсяаргумент с.Пусть T(Q) есть среднее время до окончания про-дажи партии товара, если в данный момент мы имеемпартию объема Q. Тогда, рассматривая малый интервалвремени ƒt , можно записать соотношениеT(Q) = ƒt + M{T(Q − ƒQƒt − ƒƒ}.Считая T(Q) дважды дифференцируемой функцией иразлагая выражение в правой части в ряд Тейлора, получим{ }2 {( )} ( ).1( ) ( )222M Q t o tdQd TdQ M Q tT Q t T Q dT+ ⋅ ƒ ƒ + ƒƒ + ƒ= ƒ + − ƒ ƒ + ƒƒ +Учитывая, что M{ƒƒ} = a1ƒƒt + o(ƒt) и M{(ƒƒ)2} == a2ƒƒt + o(ƒt) , получаем 0 = ƒ − dQ (ƒQƒt + a1ƒƒt) +t dT2 2 ( ) .22 o tdQa t ⋅ d T + ƒƒƒ+ Деля на ƒt и переходя к преде-лу ƒt  0 получим, что T(Q) удовлетворяет следую-щему дифференциальному уравнению( ) 12 2 122 ⋅ − ƒ + ƒ = −ƒQ adQdTdQa d T , (24)которое надо решать при естественном граничном ус-ловии T(0) = 0 .Нахождение асимптотики. Покажем, что при боль-ших значениях Q решение этого уравнения имеет вид (3).Для обоснования этого предположения получим асим-птотику для T(Q) непосредственно из уравнения (24).Возьмем это уравнение и подставим в него решениев виде T(Q) = A⋅ ln(1+ ƒQ) . Тогда имеем( ) 12 (1 )2 1 122 ƒ + ƒ = −+ ƒƒ−+ ƒƒ⋅ƒ− Q aQAQa A. (25)Делая в этом выражении предельный переход Q   ,получим, что Aƒ = 1 , т.е. A = 1 ƒ .Если взять A = 1 ƒ , то выражение (23) примет вид0112 (1 )1222 =+ ƒƒƒ ƒ −++ ƒƒ⋅ƒƒQaQa .Умножая это выражение на 1+ ƒQ и делая предель-ный переход Q   получим, что a1ƒƒ ƒ −1 = 0 , т.е.ƒ = ƒ a1ƒ , что и подтверждает высказанное выше пред-положение.Этим же путем можно получить и последующиечлены асимптотики для T(Q) . Для этого будем искатьT(Q) в виде++ ƒ++ ƒ+ ƒ +ƒ= 21 2( ) 1 ln(1 ) 1 (1 )QcQT Q Q c+ K+ ƒ++ ƒ+ 4433(1 ) (1 Q)cQc . (26)Запишем уравнение (17) в форме(1 ) 12 2 122 ⋅ − ƒ + ƒ = −ƒdQa Q dTdQa d T ,и подставим в него решение в виде (26). Приравниваякоэффициенты при одинаковых степенях1+ ƒQ1 , по-лучим, чтоc1 = 0 ;ƒ= 2122 4ac a ; c3 = 0 ; 4 21224 163ƒƒ=ac a (27)и так далее. Таким образом, асимптотика для T(Q)имеет видT Q Q c (28)с коэффициентами cn , приведенными выше. Отсюдаясна и область применимости этой асимптотики - онаприменима в области ƒQ >> 1 .Что касается дальнейшего исследования, то заметим сле-дующее. Главный член асимптотики T(Q) 1 ln(1+ ƒQ)ƒ=совпадает с тем выражением, которое было получено вдетерминированном случае. Поэтому все результатыпросто повторяются.ОБЩИЙ СЛУЧАЙРассмотрим теперь случай, когда величина покупких есть случайная величина, распределенная по экспо-ненциальному закону с плотностью вероятностей p(x)и поток покупок является пуассоновским потоком по-стоянной интенсивности ƒ.Обозначим, как и выше, через T(Q) среднее времядо распродажи всего товара, если в начальный моментмы имеем партию товара объема Q. Тогда, рассматри-вая изменения состояний системы за малый интервалвремени ƒt , можно записатьT(Q) = ƒt + (1− ƒƒt)T(Q − ƒQƒt) +( ) ( ) ( ),0 + ƒƒ − + ƒQt T Q x p x dx o t (29)откуда имеем( ) ( ) ( ).( ) (1 ) ( )0 + ƒƒ − + ƒ+ ⎟⎠⎞⎜⎝= ƒ + − ƒƒ ⎛ − ƒ ƒQt T Q x p x dx o tdQ Q tT Q t t T Q dTРаскрывая скобки, сокращая T(Q) , деля на ƒt и пе-реходя к пределу ƒt  0 , получим интегро-дифферен-циальное уравнение для T(Q) : ƒ + ƒ − ƒ − =QT Q Q T Q T Q x p x dx0( ) ( ) ( ) ( ) 1. (30)Рассмотрим случай произвольного вида p(x) с един-ственным ограничением: Qp(x)dx убывает при Q  не медленней, чем exp(−ƒQ) .Будем снова искать асимптотику решения этогоуравнения в виде T(Q) = Aln(1+ ƒQ) . Подставляя ее в внаше уравнение, получим+ ƒ + ƒ −+ ƒƒƒln(1 )1A QQA Qln(1 ( )) ( ) 1.0 − ƒ + ƒ − =QA Q x p x dxВ силу высказанного выше ограничения приQ   это соотношение эквивалентно следующемуln(1 ( )) ( ) 1 .1 ln(1 ) ( )00− ƒ + ƒ − =+ ƒ + ƒ −+ ƒƒƒQQA Q x p x dxQ A Q p x dxA QЗаписывая его в виде = ⎟⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛+ ƒ+ ƒ −− ƒ+ ƒƒƒ Qp x dxQA Q xQA Q0( ) 11ln 1 ( )1и используя верное при Q   разложениеK + ⎟⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛+ ƒ++ ƒ= −= ⎟⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛+ ƒ− = ⎟⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛+ ƒ+ ƒ −22 1111ln 11ln 1 ( )QxQxQxQQ xполучим11 1 2 (1 )2221 + =+ ƒƒ⋅ƒ−+ ƒƒ+ ƒ+ ƒƒƒKQA aQA aQA Q , (31)где { k}ak = M x .После предельного перехода Q   вновь получа-ем, что A = 1 ƒ . При этом значении А выражение (31)можно привести к виду0111 (1 )1 1 = ⎟⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛+ ƒ+ƒ + ƒƒƒ++ ƒ−QoQaQ.Умножая это выражение на 1+ ƒQ и снова делаяпредельный переход Q   получим, что ƒ = ƒ a1ƒ ,т.е. и в этом самом общем случае имеет место та жесамая асимптотика.ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ОБЪЕМАПАРТИИ ТОВАРАС УЧЕТОМ НАКЛАДНЫХ РАСХОДОВВыше была рассмотрена задача определения опти-мального объема партии товара, когда на закупку но-вой партии требуется некоторое время. Ниже будетрассмотрена ситуация, когда закупка партии товаратребует некоторых накладных расходов, связанных,например, с транспортными расходами и т.д. В даль-нейшем будем считать, что покупка партии товара объ-ема Q стоит нам d ⋅Q +G денег, где d - оптовая ценатовара, и G - накладные расходы.Пусть мы купили партию товара объема Q. Тогдаона будет продана в течение времени T(Q) =⎟⎠⎞⎜⎝⎛ƒƒ+ƒ=11 ln 1aQ по розничной цене с, и мы выручим отее продажи ⎟⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛ƒƒ+ƒƒ=1( ) 1 ( ) ln 1aT Q a c c Q денег. В даль-нейшем, где это не будет необходимо, аргумент с уƒ(c) мы будем опускать. Тогда средний доход в еди-ницу времени будет равен=⎟ ⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛ƒƒ+ƒ− − ⎟⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛ƒƒ+ƒƒƒ =1111 ln 1( ) ln 1aQdQ Gaa c c Q.ln 1ln 1( )11 1 11⎟ ⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛ƒƒ+ƒƒ−ƒƒ⋅ − ⎟⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛ƒƒ+= ƒaQa cGaQcdaQa c c (33)Обозначим для краткостиƒƒ=a1z Q ,cƒ = d ,ƒƒ=a cg G1. Тогда выражение для ƒ примет видln(1 )1 ( ) ln(1 ) za c c z z g++ − ƒ −ƒ = ƒ , (34)и, при фиксированной розничной цене с задача определе-ния оптимального объема закупаемой партии примет видz za c c z z g maxln(1 )1 ( ) ln(1 ) ++ − ƒ −ƒ = ƒ . (35)Прежде всего выясним, когда вообще имеет смыслпокупать товар для продажи. Для этого заметим, что, всилу неравенства ln(1+ z) ≤ z при ƒ>1 числитель у ƒвсегда отрицательный. Поэтому первое условие разре-шимости задачи имеет вид ƒ 0 , необходимо, чтобы выполнялось условиеmax[ln(1+ z) − ƒz − g] > 0z. Точка максимума этой разностинаходится из условия 01[ln(1 ) ] 1 − ƒ =++ − ƒ −  =zz z g , от-куда следует, что максимум достигается в точкеƒ ƒ − = ) 1 ( z и этот максимум равен g − ƒ − − ⎟⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛ƒln 1 (1 ) .Требование неотрицательности этого максимума при-водит к условию ) 1 ( 1 ln ƒ − − ⎟⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛ƒg < , или, в явном виде,⎥⎦⎤⎢⎣⎡+ − ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ƒƒ 0 , то f (z)выпукла вниз. Зная zopt , можно найти и оптимальныйобъем закупаемой партии товараQ0 = a1ƒ(c)zopt ƒ. (38)Рассмотрим теперь более общую схему покупок, ко-торая выглядит следующим образом: покупка совер-шается в тот момент, когда запас нашего товара станетравным Q1 и объем закупаемой партии равен Q0 , такчто сразу после покупки у нас будет партия товара объ-емом Q0 +Q1 . Процесс покупок изображен на рис. 2.TQ(t)tQ0+ Q1Q1Рис. 2В этом случае уравнение для Q(t) + ƒQ = −a1ƒdtdQнадо решить в форме двухточечной задачи при услови-ях Q(0) = Q1 +Q0 , Q(T) = Q1 . Решение имеет вид Q(t) =t ( e t)aQ Q e−ƒ − −ƒƒƒ= ( + ) − 1 11 0 , и второе условие прини-мает вид ( ) 11( ) ( 1 0 ) 1 e QaQ T Q Q e T − T =ƒƒ= + −ƒ − −ƒ . От-сюда находится промежуток времени между покупками⎟ ⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛ƒ + ƒƒ+ƒ=1 11 ln 1 0Q aT Q . (39)Cредняя прибыль в единицу времени равна⎟ ⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛ƒ + ƒƒ+ƒ− ⋅ − ⎟⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛ƒ + ƒƒ+ƒƒ ⋅ƒ =1 1001 1011 ln 1( ) 1 ln 1Q aQd Q GQ aa c c Q.Вводя обозначения z0 = ƒQ0 a1ƒ , z1 = ƒQ1 a1ƒ ,ƒ = d c , g = ƒG a1cƒ(c) , приведем эту формулу к виду=⎟ ⎟⎠= ƒ ⋅ −zza c c z g (40)Но теперь заметим, что при возрастании z1 величина101 zz+монотонно убывает, величина ⎟⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛++101ln 1zz такжемонотонно убывает, величина ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+ƒ + +10( 0 ) ln 1 1 zz g zмонотонно возрастает и поэтому величина ƒ монотон-но убывает. Поэтому максимум ƒ достигается приz1 = 0 , то есть при Q1 = 0 и мы приходим к рассмот-ренному выше случаю.ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОЙРОЗНИЧНОЙ ЦЕНЫПусть мы покупаем партию товара объема Q. Тогда,доход в единицу времени составит (33)⎟ ⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛ƒƒ+ƒ + ƒƒ = ƒ −( )ln 1( )11a cQa c c d Q G . (41)Обозначим z = ƒQ a1ƒ(c) , так что ƒQ = za1ƒ(c) . Тогдавыражение для ƒ принимает видln(1 )( ) 1 ( )1 za c c d a c z G+⋅ ƒ + ƒƒ = ƒ − . (42)Для нахождения оптимальной розничной цены с иоптимальной партии товара надо решить систему урав-нений = 0ƒz, = 0ƒc, которая, после некоторых уп-рощений, приобретает вид⎪ ⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⋅=ƒƒ++⋅ ƒ + ƒ⋅ ƒ + =.( ) ln(1 )( ),1( ) ln(1 ) 1 ( )1zd zcc czd a c z d a c z G(43)К сожалению, вопрос о числе корней этой системыостается открытым, хотя, по-видимому, она имеетединственное решение.ОБЩИЙ СЛУЧАЙРассмотрим в заключение общий случай, когда учиты-ваются и накладные расходы, и временные потери. В этомслучае средняя прибыль в единицу времени имеет видTba cQd Q Ga ca c c Qƒ + ⎟⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛ƒƒ+ƒ − ƒ ⋅ − ⎟⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛ƒƒƒ +ƒ =( )ln 1( )( ) ln 1111. (44)Вводя величиныa1 (c)z Qƒƒ= ,cƒ = d ,a1c (c)g Gƒƒ= , при-ведем это выражение к видуz Tba c c z z g+ + ƒ+ − ƒ −ƒ = ƒ ⋅ln(1 )1 ( ) ln(1 ) . (45)Приравнивая нулю производную от ƒ по z, получим уравне-ние, определяющее оптимальное значение z, а, следовате-льно, и оптимальный объем покупаемой партии товара Q:g T T z z b b + ⎟⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝ ⎛ −ƒ(1+ ) ln(1+ ) = (ƒ − ƒ ) + ƒ 1 1 . (46)Так как ƒ + ⎟ ⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛−ƒƒTb g и поэтому уравне-ние(46) имеет единственный корень независимо от зна-ка ƒ − ƒTb .

Скачать электронную версию публикации