The optimization of the capital's function if there is investment of money in business advertising.pdf Реклама нас окружает повсюду. Нам никуда не скрытьсяот нее. Телевидение, радио, интернет, газеты, журналы - лю-бая сфера массовой информации заполнена рекламой. Орга-низации используют ее как способ привлечения покупателей.И какой еще найти способ, чтобы повлиять на потребитель-ский спрос. Рекламная деятельность направлена как на по-требителей, так и на товаропроизводителей, стремящихся кмассовой реализации своего товара.Рассмотрим модель компании, которая в своей деятель-ности предусматривает выделять некоторую часть капиталаQ(t) на использование рекламы. Через S(t) обозначим количе-ство капитала, которым обладает компания в момент времени t.Причем состояние капитала зависит от того, сколько фирмеудается продать количество товара, а последнее напрямуюзависит от покупательского спроса. Итак, обозначим, R(t) -величина, отражающая эффективность рекламы, т.е. функцияпоследействия. Опишем ее законом ( ) R(t) Q(t)dtdR t = −ƒ + ƒ ,где коэффициент ƒ определяет скорость забывания рекламыR(t), а ƒ − степень влияния денег Q(t), вкладываемых в рек-ламу. Влияние R(t) проявляется в следующем: будем считать,что поток покупателей является пуассоновским потоком синтенсивностью ƒ= ƒ0 + ƒ1(R(t)), где коэффициент ƒ1 описы-вает влияние рекламы на поток покупателей. Величина λ0определяет интенсивность потока покупателей без всякойрекламы. Величина покупки ƒ - случайная величина со сред-ним значением a = M{ƒ}.СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ КАПИТАЛАПРИ УПРАВЛЕНИИ РАСХОДАМИ НА РЕКЛАМУИзменение капитала будет за период времени ƒt сле-дующим: ( ) ( ( ( )))( ( ( ))),1 ,, ,0 0 10 0 1⎩ ⎨ ⎧− ƒ − ƒ + ƒ ƒƒ − ƒ ƒ + ƒ ƒƒ =c t R t tS t c t R t t где с0 -постоянные расходы компании, на которые не влияетсостояние капитала в тот или иной момент времени (на-логи, аренда помещения, заработная плата сотрудни-кам). Так как значение капитала определяет величина ƒ,являющаяся случайной величиной, то и S(t) тоже являет-ся случайной величиной. Обозначим среднее значениекапитала S1 = M{S(t)}. После усреднения величины ƒS(t)получим систему дифференциальных уравнений.( ) ( ( )) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ⎪⎩⎪⎨⎧= −ƒ + ƒ= ƒ + ƒ − −.1 0 0 ,1R t Q tdtdR ta R t a c Q tdtdS t(1)Из второго уравнения системы (1) выразим Q(t):( ) 1 ( ) ( ) ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ƒ+ƒ= R tdtQ t dR t (2)последнее выражение подставим в дифференциальноеуравнение для S1(t) из дифференциальной системы (1):( ) ( ( )) ( ) 1 ( ) ( )1 0 01 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ + ƒƒ= ƒ + ƒ − − dt R tdt a R t a c dR tdS t . (3)Решение неоднородного дифференциального урав-нения (3) имеет видS1 (t)= A +(aƒ0 − c0) t +( ( )) 1 ( ) ( ) ,01 ƒ ⎟⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡ + ƒ ƒƒƒƒ+  ƒ ƒ − d R da R dRt(4)где A - константа. Значение функции капитала в ко-нечный момент времени T будет таким:( ) ( ) ( ( )) 1 ( ) ( ) .01 0 0 1 ƒ ⎟⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡ + ƒ ƒƒƒƒ= + ƒ − +  ƒ ƒ − d R dS t A a c T a R dRTВведем новую функцию F(t):( ) ( ( )) 1 ( ) ( ) .1 ⎟⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡ + ƒƒ= ƒ − dt R tF t a R t dR tТак как для компании важно получение максималь-ного значения функции капитала в конечный моментвремени, то для решения построим функцию Эйлера− = 0 y FydxF d . В нашем случае y соответствует R(t), xсоответствует t. Получим, что( ) ⎟⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛ƒƒFy = aƒ1 R − ,ƒ= − 1Fy , = 0 Fydxd ,1( 0) 0 =ƒƒaƒ R − , 1( 0 ) ƒ .ƒƒ =aR (5)Обозначим как R0 корень последнего уравнения,причем R0 = const.Компания планирует свои расходы, чтобы достичьмаксимального дохода в определенный момент време-ни. Поэтому в ходе деятельности она пытается предви-деть и контролировать события, т.е. предсказать полу-чение будущего дохода, изменять или влиять на теку-щие события, связанные с деятельностью компании, и,в конечном итоге, уменьшить неопределенность рискаотносительно неполучение прибыли.Итак, управляя расходами, пусть функция расходовимеет вид ( )⎪⎩⎪⎨⎧≤ ≤≤ ≤≤ ≤=0, ., ,,0 ,20 1 2max 1T t TQ T t TQ t TQ tРазобьем временную ось на следующие промежутки:0≤ T1 ≤ T2 ≤ T.Рассмотрим первый период: 0 ≤ t ≤ T1. Пусть на дан-ном этапе сумма расходов максимальна, т.e. Q(t) = Qmax.Используем выражение (2), показывающее зависимостьмежду расходами на рекламу и функцией последействия:( ) 1 ( ) ( ) ;⎥⎦⎤⎢⎣⎡ + ƒƒ= dt R tQ t dR t так как ( ) Q t = Qmax , то1 ( ) ( ) ( ) ( ) .max max dt R t Qdt R t dR tt dR Q ƒ = ƒ + ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ + ƒƒ=Решая неоднородное дифференциальное уравнение,получим вид функции последействия на этом времен-ном отрезке ( R( t) B e−ƒt Q [ − e−ƒt]ƒƒ= + max 11 , где B1 - кон-станта.Зададим начальное условие R(0) = 0, тогда B1= 0.Функция последействия при максимальных расходах иначальном условии R(0) = 0 имеет видR(t) Qmax [1− e−ƒt ] .ƒƒ= (6)Выражение (6) подставим в дифференциальное урав-нение для S1(t) из системы дифференциальных уравне-ний (1). Получим, что( ) (1 ) ( ) .0 0 maxmax1d1t a Q e a c Qt dS t − − ƒ + ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ −ƒƒ= ƒ −ƒ (7)Решение неоднородного уравнения (7) имеет вид( ) [( ) ]( )  ƒ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ −ƒƒ+ ƒ= + ƒ − − +−ƒta Q e t dS t B a c Q t0max11 1 0 0 max1 ,где B1 - константа.При начальном условии S1(0) = S1( ) [( ) ][1 ] .0max11 1 0 0 maxƒ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −ƒƒ+ ƒ= + ƒ − − + a Q e−ƒƒ dS t S a c Q ttПолученную функцию обозначим как S (1) (t)1 .Итак, функция капитала на первом этапе при мак-симальных расходах Q(t) = Qmax, начальном значении ка-питала S1(0) = S1 и при условии существования функ-ции последействия R(t) имеет видS ( )(t) = S1 +[(aƒ0 − c0 )−Qmax] t +11[1 ] .0max1 ƒ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −ƒƒ+  ƒ a Q e−ƒƒ dt(8)Перейдем к периоду T1 ≤ t ≤ T2. Пусть на этом вре-менном отрезке расходы на рекламу имеют фиксиро-ванное значение Q(t) = Q0, T1 ≤ t ≤ T2, и функция после-действия имеет значение R(t) = R0.Из уравнения Эйлера установлена следующая зави-симость (5): 1( 0) . ƒ R = ƒ aƒ При заданных нами услови-ях получим ( ) 1 0 0 RaRƒƒƒ = . Учитывая зависимость функ-ции расходов Q(t) от функции последействия R(t) (2),определим вид значения расходов Q0:Q0 R0. ƒƒ= (9)Используем последнее выражение (9) для подста-новки в дифференциальное уравнение (3) для S1(t):( ) 0 ( 0 0) 0 .d1t a R a c RdS tƒƒ+ ƒ − −ƒƒ= (10)Вид решения уравнения (10) позволяет определитьвид функции капитала на втором временном отрезке,где T1 ≤ t ≤ T2: ( ) 1 ( ) .1 2 0 0 0 a a c ta R B t S ⎥⎦⎤⎢⎣⎡− ƒ + ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −ƒƒ= +Здесь B2 - константа. Полученную функцию обозначимкак S (2)(t)0 .Итак, функция капитала на втором этапе при фик-сированных расходах Q(t) = Q0 и значении функциипоследействия R(t) = R0 имеет вид( )( ) 1 ( ) .2 0 0 020 a a c ta R B t S ⎥⎦⎤⎢⎣⎡− ƒ + ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −ƒƒ= + Тогда B2 - кон-станта.Перейдемход к единому времени. Тогда функциякапитала примет вид( )( ) ( ) ( )1 .2 0 0 0 120 a a c t Ta R B t S − ⎥⎦⎤⎢⎣⎡− ƒ + ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −ƒƒ= + (11)Условие сшивания функций капитала первого ивторого периодов будет таким ( )( ) ( ) ( ) 121 011 S T = S T , чтопозволит найти вид константы B2 и, таким образом, по-лучить явный вид функции капитала на втором вре-менном отрезке[( ) ] [1 ] .10max2 1 0 0 max 1 1 ƒ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −ƒƒ= + ƒ − − +  ƒ B S a c Q T a Q e−ƒƒ dTПодставляем полученный вид константы в выраже-ние (11) для S (2)(t)0 :( )( ) [ ] + ƒ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −ƒƒ= − ⋅ + ƒ S t S Q T a Q e−ƒƒ dT110max1 max 1 120( ) ( )1 .0 1 0 0 a t T a c ta R − ƒ + − ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −ƒƒ+ (12)А значение функции капитала в момент T2( )( ) [ ] + ƒ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −ƒƒ= − +  ƒ S T S Q T a Q e−ƒƒ dT110max2 1 max 1 120( ) ( ).10 2 1 0 0 2 a T T a c Ta R − ƒ + − ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −ƒƒ+ (13)Перейдем к периоду T2≤t≤T. Пусть на этом времен-ном отрезке компания отказывается от расходов нарекламу, поэтому Q(t) = 0, и на этом временном отрезкепроявляется действие функции последействия R(t).Помним, что зависимость функции расходов Q(t) отфункции последействия R(t) представлена уравнением(2). При условиях для данного периода получим( ) ( ) 0 1 = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ + ƒƒR tdtdR t . Решаем последнее дифференци-альное уравнение R(t) = B3e−ƒt. Согласно начальнымусловиям, B3 = R0, а значит, R(t) = R0e−ƒt. Полученноевыражение подставляем в дифференциальное уравне-ние (4) для S1(t). Для этого этапа уравнение примет вид( ) ( ) ( ) . 1 0 0 0d1t a R e a cdS t = ƒ −ƒt + ƒ − Тогда S1(t) будет таким:( ) ( ) ( ) ,01 = 3 + ƒ0 − 0 +  ƒ1 0 −ƒƒ ƒtSt B a c t a R e d T2≤t≤T.Обозначим функцию капитала на этом участке какS3 (t)2 : ( ) ( ) ( ) .03 0 0 1 032 = + ƒ − +  ƒ −ƒƒ ƒtS t B a c t a R e d Послеперехода к единому времени функция капитала такова:( ) ( )( ) ( ) ( ).203 0 0 2 1 032 −= + ƒ − − + ƒ −ƒƒ ƒt TS t B a c t T a R e d (14)Условие сшивания для функций капитала, полученныхна втором и третьем периодах, будет ( )( ) ( ) ( ) 232 220 S T = S T .Выражения (13) и (14) определяют вид константы B3:[ ] ++Вид функции капитала( )( ) [ ] + ƒ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −ƒƒ= − +  ƒ S t S Q T a Q e−ƒƒ dT110max1 max 1 132( )+ − ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −ƒƒ+ 0 2 11 a T TR a( ) ( ) ( )−+ ƒ − + ƒ −ƒƒ ƒ200 0 1 0 .t Ta c t a R e dПолученную функцию обозначим как S (t) :( ) [ ] + ƒ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −ƒƒ= − ⋅ +  ƒ S t S Q T a Q e−ƒƒ dT110max1 max 1 1( )+ − ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −ƒƒ+ 0 2 11 a T TR a( ) ( ) ( )−+ ƒ − + ƒ −ƒƒ ƒ200 0 1 0 .t Ta c t a R e d (15)Среднее значение функции капитала (15) в моментвремени T при управлении расходами Q(t) в течениепериода 0 ≤ t ≤ T и влиянии функции последействия напотребительский спрос имеет значение( ) [ ] + ƒ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −ƒƒ= − +  ƒ S T S Q T a Q e−ƒƒ dT110max1 max 1 1( )+ − ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −ƒƒ+ 0 2 11 a T TR a( ) ( ) ( )−+ ƒ − + ƒ −ƒƒ ƒ200 0 1 0 .T Ta c T a R e d (16)ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХМОМЕНТОВ ВРЕМЕНИ T1, T2ДЛЯ ФУНКЦИИ КАПИТАЛАГлавной задачей компании является получение наи-большей прибыли в конечный момент времени T. Поэто-му ( ) max.T1,T2S T  Момент времени T1 определяется с по-мощью выражения (6) для функции последействия приусловии, что если R(T1) = R0, то [ ] 0Qmax 1− e T1 = Rƒƒ −ƒ , изкоторого следует, что 1 .max1 0Qe T Rƒƒ−ƒ = − Прологарифми-руем последнее выражение и получим выражение длямомента T1: ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ƒƒ−ƒ= −max01 1 ln 1QT R . Из последнего выра-жения мы можем утверждать, что 0 1 1max0 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ƒƒ−ƒ−QR.Следовательно, момент времени T1 существует. Поэто-му задача максимизации прибыли в конечный моментвремени T примет вид ( ) max.T2S T Параметр, которым компания может управлять, -это момент времени, когда нужно отказаться от расхо-дов на рекламу. Для решения задачи продифференци-руем (16) по T2:( ) ( ( 2))0 1 021 a R e T TaR aTT S − ƒ − ƒ − ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −ƒƒ=, ( ) 02=TS Tи получим уравнение, решив которое, можем найтимомент времени T2, после которого затраты на рекламынецелесообразны:( ) ( ) ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −ƒƒƒ −ƒ − =aa R e T T R 1 a1 0 02 . (17)Рассмотрим частный случай, где интенсивностьпотока покупателей определена видом функции ƒ(R(t)):( ( )) 0 ( 0 )(1 ( )) .R tƒ R t = ƒ + ƒm − ƒ − e−ƒ (18)Напомним, что ƒ0 представляет собой интенсивностьпотока покупателей без рекламы. А поток клиентов, об-разуемый под влиянием рекламы, в нашем случае( ( )) ( )( R(t ))ƒ1 = ƒ1 R t = ƒm − ƒ0 1− e−ƒ , (19)где ƒ − некоторый параметр.Вернемся к выражению (17), определяющему насту-пление момента T2: ( ) ( ) ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −ƒƒƒ −ƒ − =aa R e T T R 1 a1 0 02 . Учи-тывая, что R0 − корень уравнения (5), ( )ƒƒƒ =aR1 0 , ииспользуя выражение (19), описывающее вид интен-сивности потока для этого частного случая,( ( )) ( )( R(t ))ƒ1 R t = ƒm − ƒ0 1 − e−ƒ .Получим, что ( ( )) ( ) R(t )ƒ  R t = ƒ ƒm − ƒ e−ƒ 1 0 . Это выражениеподставим в уравнение (5):( ) ( ).000 0ƒƒ ƒ − ƒƒ=ƒƒƒ ƒ − ƒ −ƒ = −ƒmR Rm e a e aПрологарифмируем последнее выражение:( )( ) ln ; 1 ln 0 ,000 ƒƒƒ ƒ − ƒƒ=ƒƒ ƒ − ƒƒ− ƒ = mmR a R aR0 = const, R0 > 0.Теперь попытаемся определить момент наступленияT2, поэтому напишем вид обеих сторон выражения (17):( ) ( ) ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −ƒƒƒ −ƒ − =aa R e T T R 1 a1 0 02 . Левая часть последнеговыражения будет следующей:( ( )) ( ) (1 ( )). 2 0 21 0 0R e T TmR e T T e ƒ −ƒ − = ƒ − ƒ − −ƒ −ƒ −Поэтому выражение (17) принимает вид( ) (1 ( )) 1 . 0 02 0 ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −ƒƒƒ − ƒ − = −ƒ −ƒ −aa e R a R e T TmИз этого выражения следует, что( )1 ( ) 1 . 000 2 a Rae amR e T T ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −ƒƒ ƒ − ƒƒ= − −ƒ −ƒ −Логарифмируем последнее выражение( )ln 1 ( ) 1 0 ,002 ⎟⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −ƒƒ ƒ − ƒƒ− ƒ −ƒ − = − a RaR e amT T( ) ( ).Еще раз логарифмируем последнее выражение, изкоторого можно найти вид для момента T2:( ).ln 1 11 ln0002⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦⎤⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣⎡ƒ⎟ ⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −ƒƒ ƒ − ƒƒ−−ƒ= +Ra RaaT T m (20)Докажем, что T > T2. Так как значение функции по-следействия R0 = const, R0 > 0, то и выражение нижетоже имеет положительное значение( ) 1 000> ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −ƒƒ ƒ − ƒƒRaaa m.Причем 0 1 ( ) 1 0 10< ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −ƒƒ ƒ − ƒƒ< − Raaa m, так как по-следнее выражение находится под знаком функции ло-гарифма, поэтому ln 1 ( ) 1 0 0.0< ⎟⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −ƒƒ ƒ − ƒƒ− a Raa mСледующее неравенство тоже верно:( )1 .ln 1 10000 ƒƒƒ ƒ − ƒ ƒ+ƒ.Возвращаемся к выражению (17), из которого мож-но определить выражение для момента времени T2:( ( )) ( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛+ƒ = ƒ − ƒ − −ƒ − ƒƒ−ƒ −0 **1 0 022 1R e RRR em T TT T .Выражение (17) принимает вид( ) ( ( ) ) 1 0 1 .0 **02⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −ƒƒ=⎟ ⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛+ƒ − ƒ − −ƒ − ƒƒaR aR e Ra Rm T TИз последнего получаем( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −ƒ ƒ − ƒƒ= −+ −ƒ − ƒƒaR aR e R aRmT T1 0 10 * 0*2. (23)Все величины в выражении (24) положительны:( −ƒ( − ) )ƒƒ+ 0 **R e 2 RRT T. (24)Значит, все выражение (24) положительно, но есливерно ( ( ) ) 00 **2>+ −ƒ − ƒƒR e RRT T, то должно быть верно0 1 ( ) 0 1 10< ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −ƒ ƒ − ƒƒ< −aR aa m. (25)Возвращаемся к (23), из которого получим( ( ) )( ) ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −ƒ ƒ − ƒƒ−+ =ƒ−ƒ − ƒaR aaR e R RmT T1 0 10*0 *2 ,( ) ( )0*00*1 12RRaR aaRe T T m−⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −ƒ ƒ − ƒƒ−=ƒƒ−ƒ − .Прологарифмируем последнее выражение и получим( ) ( )0*00*21 1lnRRaR aaRT T m−⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −ƒ ƒ − ƒƒ−− ƒ − =ƒƒ.Определим вид наступления момента времени T2:( )0*00*21 11 lnRRaR aaRT T m−⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −ƒ ƒ − ƒƒ−ƒ= +ƒƒ.С помощью неравенства (25) покажем, что T2 < T.Так как нами установлена справедливость (25), то( )− =⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −ƒ ƒ − ƒƒ− ƒƒ*00*1 1RaR aaRm( )*00* 11 11 RaR aaRm

Скачать электронную версию публикации