Ffractal analysis of river sinuosity (by example of Tomsk region).pdf Проблема расхождения в значениях длин береговых линий и многих других природных объектов, сущест-венная зависимость точности показателей их протя-женности от способа измерения обусловливают поста-новку концептуальной задачи поиска других парамет-ров, характеризующих морфометрические свойства природных кривых.При измерении береговой линии в постоянно ук-рупняющемся масштабе в рассмотрение попадают все более мелкие изгибы, и каждая новая деталь увеличи-вает общую длину берега, реки, любой другой природ-ной границы или различного ранга государственных границ, если они проведены по естественным природ-ным рубежам. В типичном случае наблюдаемая длина склонна возрастать неограниченно. Такое поведение природных границ наводит на мысль о некотором за-кономерном соответствии длины и масштаба.Впервые в 1961 г. Л. Ричардсон установил, что дли-на произвольной географической кривой (которая мо-жет быть изломана в любой точке) степенным образом зависит от масштаба измерения. Позже, в 1967 г., Б. Мандельброт связал такое свойство природных объ-ектов с фракталами и предложил новую характеристи-ку их протяженности - фрактальную (дробную) раз-мерность.Фрактал (от лат. fractus - фрагментированный, не-правильный по форме) - это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый инвариант которой подобен целому при произвольном изменении масшта-ба. Фракталы являются сугубо математическим поня-тием и как математические объекты обладают массой чрезвычайно интересных свойств, в то же время при-менение фрактального аппарата в исследовании объек-тов различной природы позволяет выявить совершенно новые характеристики и определить их глубокую фи-зическую сущность. Использование фрактальной тео-рии, основанной на целостном представлении объекта как совокупности элементов, взаимосвязь которых по-рождает свойство самоподобия, весьма эффективно как для описания морфологии рельефа, так и для выявле-ния закономерностей динамики геоморфосистем [1].Фрактальными свойствами обладают и отдельные водотоки русла, и разветвленные речные структуры, в связи с этим различные методы фрактального анализа применяются для исследования самоподобия как в целостной структуре речного бассейна, так и на от-дельных морфологически однородных участках русла. Общие закономерности, лежащие в основе меандриро-вания и бифуркации русла, действуют на всех уровнях речной системы, тем самым порождая ее самоподоб-ную морфометрию. Такая фрактальность сохраняет некое качество природных структур при изменениипространственных масштабов, это свойство автомо-дельности является существенным фактором в иссле-довании формы и, как следствие, динамики процессов их образования, поскольку упрощает математическое моделирование задачи.Количественной характеристикой фрактальных ма-тематических объектов является размерность Хаусдор-фа-Безиковича, выражающаяся, как правило, дробным числом. Для оценивания природных фракталов - есте-ственных структур, которые с той или иной целью мо-гут быть представлены фрактальными множествами, -также может быть использовано понятие дробной раз-мерности. Величина фрактальной размерности опреде-ляет сложность структуры, это удобная количественная мера неидеальности объектов: извилистости контура, морщинистости поверхности, трещиноватости и порис-тости объема. Например, размерность однорукавного русла указывает на степень извилистости, а многору-кавного - на густоту и степень его разветвленности.Методологические подходы к фрактальному анализу речных русел. Для фрактальных кривых справедлива формула, связывающая длину этой кривой с масштабом измерения [2]:L=лm1-Dн,(1)где L - длина кривой; m - масштаб измерения (цена деления измерителя); л - масштабный множитель, оп-ределенный для каждой конкретной фрактальной ли-нии; DН - фрактальная размерность данной кривой.Еще одно основное свойство фрактальных кривых -это самоподобие, т.е. любой участок кривой имеет ту же величину фрактальной размерности, что и вся кри-вая. С математической точки зрения свойство самопо-добия можно записать следующим образом [2]:kL=л(km)1-Dн,(2)где k - коэффициент, количественно характеризующий цену деления измерителя (раствор циркуля).Следовательно, для измерения длины кривой, в k раз длиннее изначального участка, достаточно раствора циркуля, в k раз больше предыдущего.Прологарифмировав (1), получимLg(L) = Lg (л)+(1-DН)Lg(m).(3)Примененная нами методика фрактального описания формы речных систем впервые была предложена Л. Ри-чардсоном [2]. Он определил, что логарифмический гра-фик зависимости длины береговых линий и других при-родных границ, характеризующихся извилистостью, от выбранной единицы длины аппроксимируется прямой линией с ограниченным уклоном. В дальнейшем, изучая и обобщая результаты исследований Л. Ричардсона, Б. Ма-ндельброт [2] связал их с понятием фракталов. Он указал, что этот результат выражает статистическое самоподобие, являющееся характеристикой фрактальной кривой. Тан-168генс угла наклона логарифмического графика этой кривой, равный 1-DН, определяет фрактальную раз-мерность данной изогнутой линии - DН. Именно Ман-дельброт предложил использовать новые фрактальные характеристики для количественного описания реч-ных систем и других изломанных естественных кри-вых, таких как береговые линии и границы между го-сударствами. Вид уравнения (3), которое выражаетзависимость длины кривой от масштаба измерения, объясняет описанную методику. График этой зависи-мости в двойном логарифмическом масштабе пред-ставляет собой линейную функцию, тангенс угла на-клона которой и будет соответствовать значению 1-DН. С помощью данной методики были получены фрактальные показатели некоторых однорукавных речных систем [3-5].Lg{L,)a |\ ?\ b= 3Lg(LD)-i >v t Lg

Скачать электронную версию публикации