On equivalence of the analytical and geometrical definitions of mappings with an s-averaged characteristic
In this paper we continue to develop the geometric method of studying properties of space mappings with an s-averaged characteristic. The method is based on the characteristic distortion law for modules of families of curves. In recent decades, the theory of mappings with bounded distortion in the n-dimensional Euclidean space is one of the most meaningful and intensively developed branches of the function theory. These mappings were introduced and systematically studied in works by Yu.G. Reshet-nyak, published since 1966. A part of Yu. G. Reshetnyak's results is contained in [1]. The most powerful tools used in the study of space mapping properties are methods that study invariance properties of conformal capacity or the module of families of curves. The equivalence of analytical and geometrical (expressed in terms of the conformal capacity of condensers) definitions of mappings with bounded distortion was introduced by O. Martio, S. Rickman and J. Vaisala [2]. In [3], the equivalence was proved for definitions of homeomorphic mappings with distortion bounded on the average. The equivalence for mappings nonhomeomorphic with distortion bounded on the average was considered in [4]. In the presented paper, we give a geometric definition of mappings with an s-averaged characteristic using the concept of a spherical p-module of a family of curves. This definition can also be interpreted as a generalization of the method of modules for mappings with an s-averaged characteristic. We also study these mappings properties and prove the equivalence of the geometric and analytic definitions using the distortion theorems.
Keywords
пространственные отображения с s-усредненной характеристикой,
геометрический метод модулей,
эквивалентность,
точки ветвления,
space mappings with an s-averaged characteristic,
geometrical method of modules,
equivalence,
branching pointsAuthors
| Malyutina Aleksandra Nikolaevn | Tomsk State University | nmd@math.tsu.ru |
| Elizarova Mariya Aleksandrovna | Tomsk Polytechnic University | elizarova_m@sibmail.com |
Всего: 2
References
Решетняк Ю.Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. Новосибирск: Наука, 1982. 288 с.
Martio O., Rickman S., Vaisala J. Definitions for quasiregular mappings // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1. 1969. No. 448. P. 1-40.
Кругликов В.И., Пайков В.И. Некоторые геометрические свойства отображений с искажением, ограниченным в среднем. Донецк: Донецк ун-т, 1982. 43 с. (Деп. в ВИНИТИ 06.09.82 № 4747-82 Деп).
Малютина А.Н. Об эквивалентности геометрического и аналитического определений отображений с ограниченным в среднем искажением // Экстремальные задачи теории функций 8. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1990. С. 64-70.
Малютина А.Н., Елизарова М.А. Оценки искажения модулей для отображений с s-усредненной характеристикой // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2010. № 2(10). С. 5-15.
Сычев А.В. Модули и пространственные квазиконформные отображения. Новосибирск: Наука, 1983. 152 с.
Rado T., Reichelderfer R.V. Continuous transformation in analisis. Berlin - Gottingen -Heidelberg: Springer-Verlag, 1955. 442 p.
Чернавский А.В. Конечнократные открытые отображения многообразий // Мат. сб. 1964. Т. 65. № 3. С. 357-369.
Полецкий Е.А. Метод модулей для негомеоморфных квазиконформных отображений // Мат. сборник. 1970. Т. 83 (125). № 2 (10). С. 261-273.
Малютина А.Н., ЕлизароваМ.А. Теоремы о полунепрерывности снизу отображений с s-усредненной характеристикой // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2009. № 4(8). С. 46-52.
Елизарова М.А., Малютина А.Н. Отображения с s-усредненной характеристикой. Определение и свойства // LAP LAMBERT. Academic Publishing, 2013. С. 121.
Vaisala J. Lectures on n-dimentional quasiconformal mappings. - Lectures and Notes in Math. Berlin - Heidelberg - New-York: Springer-Verlag, 1971. 144 p.
Гольдштейн В.М. Емкость и продолжение функций с обобщенными производными // Сиб. мат. журн. 1982. Т. 23. № 1. С. 49-59.
Малютина А.Н., Кривошеева И.И., Баталова Н.Н. Искажение сферического модуля семейства кривых // Исследования по математическому анализу и алгебре. Вып. 3. Томск: Изд-во ТГУ, 2001. С. 179-195.
ГусманМ. Дифференцирование интегралов в Rn. М.: Мир, 1978. 200 с.
Hesse J. A />-extremal length and ^-capacity // Arkiv for Math. 1975. V. 13. No. 1. P. 131-144.
Мазья В.Г. О некоторых интегральных неравенствах для функций многих переменных // Проблемы математического анализа. Л.: Изд-во ЛГУ, 1973. Вып. 3. С. 33-68.
Малютина А.Н. Устранимость изолированный особенности для отображений с искажением, ограниченным в s-среднем // Комплексный анализ и математическая физика. Школа-семинар. Материалы докладов. Красноярск, 1987. С. 72.
Сычев А.В., Малютина А.Н. Об отображениях с ограниченным в среднем искажением // Докл. АН СССР. 1985. Т. 283. № 2. С. 317-320.
Малютина А.Н., Елизарова М.А. Дифференциальные свойства отображений с s-усред-ненной характеристикой // Вестник ТГУ. 2007. № 300(1). С. 124-129.
Малютина А.Н., Елизарова М.А. О связи классов отображений с s-усредненной характеристикой с некоторыми классами пространственных отображений // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2010. № 4(12). С. 18-32.
Мартио O., Рязанов В., Сребро У., Якубов Э. К теории Q-гомеоморфизмов // Докл. РАН. 2001. Т. 381. № 1. С. 20-22.
Martio O., Ryazanov V., Srebro U., and Yakubov E. Mappings with finite length distortion // J. d'Anal. Math 93 (2004). P. 215-236.
Martio O., Ryazanov V., Srebro U., and Yakubov E. Q-homeomorphisms, Contemporary // Math. 2004. V. 364. P. 193-203.
Martio O., Ryazanov V., Srebro U., and Yakubov E. On Q-homeomorphisms // Ann. Acad. Sci. Fenn. 2005. V. 30. No. 1. P. 1-21.
Ryazanov V. and Sevost'yanov E. Toward the theory of ring Q-homeomorphisms // Israel J. Math. 2008. V. 168. P. 101-118.
Рязанов В.И., Севостьянов Е.А. Равностепенно непрерывные классы кольцевых Q-гомеоморфизмов // Сиб. матем. журн. 2007. Т. 48(6). С. 1361-1376.
