The problem of finding eigenvalues and eigenfunctions of boundary value problems for mixed-type equations
In this work, eigenvalues and eigenfunctions of the boundary value problem with the Frankl condition for an elliptic-hyperbolic type equation in a special domain are considered. In the elliptic part of the domain, using polar coordinates and the method of separation of variables, we derive the spectral problems for the ordinary differential equations. By solving these problems, we obtain the eigenvalues and eigenfunctions of the formulated problem. Furthermore, we prove that the system of eigenfunctions is incomplete in the L2 space, which means that not every square-integrable function in the domain can be represented as a series expansion in terms of these eigenfunctions. This incompleteness is demonstrated by constructing a specific function orthogonal to the entire system of eigenfunctions. By exploring the spectral properties of mixed-type equations, this paper contributes to a broader understanding of how solutions behave in domains with varying types of differential operators. The study highlights the challenges posed by the change in operator type, emphasizing the difficulties in obtaining a complete and comprehensive eigenfunction system. The research expands on previous works in the field of spectral analysis for mixed-type equations, particularly with respect to the role of spectral parameters and their impact on the completeness of the solution space. This research provides valuable insights into the mathematical and physical implications of mixed-type boundary value problems.
Keywords
mixed-type equations with a spectral parameter,
eigenvalues,
eigenfunctions,
boundary value problem,
uniqueness of the solution,
spectral problemAuthors
| Tojiboev Ibrokhimjon T. | Ferghana State University | ibroxim@gmail.com |
Всего: 1
References
Бицадзе А.В. Об одном трехмерном аналоге задачи Трикоми // Сибирский математиче ский журнал. 1962. № 3. С. 642-644.
Ежов А.М., Пулькин С.П. Оценка решения задачи Трикоми для одного класса уравне ний смешанного типа // Докладу: Академии наук СССР. 1970. Т. 193, № 5. С. 978-980.
Нахушев А.М. Об одном классе линейных краевых задач для гиперболического и сме шанного типов уравнений второго порядка. Нальчик: Эльбрус, 1992. 155 с.
Кальменов Т.Ш. О спектре задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Дифференциальные уравнения. 1977. Т. 13, № 8. С. 1418-1425.
Моисеев Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. М.: Моск. гос. ун-т, 1988. 150 с.
Пономарев С.М. Спектральная теория основной краевой задачи для уравнения смешан ного типа Лаврентьева-Бицадзе: дис. д-ра физ.-мат. наук. М., 1981. 139 с.
Сабитов К.Б. К теории уравнений параболо-гиперболического типа со спектральным параметром // Дифференциальные уравнения. 1989. Т. 25, № 1. С. 117-126.
Сабитов К.Б., Тихомиров В.В. О построении собственных значений и функций одной газодинамической задачи Франкля // Математическое моделирование. 1990. Т. 2, № 10. С. 100-109.
Салахитдинов М.С., Уринов А.К. Краевые задачи для уравнений смешанного типа со спектральным параметром. Ташкент: Фан, 1997. 166 с.
Уринов А.К., Тожибоев И.Т. Собственные числа и собственные функции некоторых краевых задач для одного уравнения смешанного типа с негладкой линией изменения типа // Дифференциальные уравнения, функциональные пространства, теория приближений: тез. междунар. науч. конф., 5-12 октября 2008 г. Новосибирск, 2008. С. 218.
Уринов А.К., Тожибоев И.Т. О полноте системы собственных функций некоторых внутренне-краевых задач для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с негладкой линией изменения типа // Докладу: Академии наук Республики Узбекистан. 2009. № 3-4. С. 19-23.
Тожибоев И.Т. Краевые задачи в специальной области для уравнения смешанного типа // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2018. № 56. С. 17-29.
Тожибоев И.Т. Собственные числа и собственные функции одной внутренне-краевой задачи для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с негладкой линией изменения типа // Узбекский математический журнал. 2009. № 4. С. 107-114.
Urinov A.K., Tojiboev I.T. Eigenvalue and eigenfunctions of some boundary-value problems for a mixed type equation with non-smooth line of type changing // Proceedings of the 16th Inter. conf. on Finite or Infinite Dimensional Complex Analysis and Applications, July 28 -August 1, 2008. Gyeongju, 2009. P. 282-289.
