MODELLING AND OPTIMIZATION OF THE STUDENT’S RATINGS.pdf В последнее время в высших учебных заведениях большое внимание уделяется развитию рейтинговой системы. Благодаря рейтингу можно автоматизировать выставление оценок, сделать эту оценку более объективной, не зависящей от преподавателя. Наличие рейтинговой системы позволяет студенту планировать и прогнозировать качество своего обучения. Под рейтингом понимается алгоритм, по которому каждому учащемуся в конце обучения выставляется некоторый итоговый балл, выраженный числом. На основании этого балла выставляется итоговая оценка, обычно по пятибалльной шкале. Для того чтобы построить рейтинговую систему, необходимо: 1) указать ряд показателей, выражающих отношение студента к обучению (обычно это оценки за текущие контрольные работы, расчетно-графическую работу для внеклассного выполнения, теоретический коллоквиум, показатели активности студента в обучении, проявляющейся в виде выступлений у доски, занятий с репетиторами, показатель посещаемости занятий), по которым формируется рейтинг учащегося; 2) поставить в соответствие каждому показателю три числа: минимальный, нормальный и максимальный уровни; 3) выделить среди показателей наиболее важные, такие, что если студент не набирает нормального уровня по указанному показателю, он не получает удовлетворительной итоговой оценки; 4) построить алгоритм, по которому на основании указанных уровней формируется рейтинг учащегося. Последняя задача является наиболее сложной из всех вышеперечисленных. Построению алгоритма рейтинга посвящается большое количество работ, например [4-6]. Известно, что одним из инструментов изучения многих сегментов учебного процесса является статистическое моделирование. Благодаря моделированию можно: - оптимизировать, улучшать качественные показатели обучающих систем [7, 8], - изучать влияние различных факторов на качественные стороны учебного процесса [9-11]. В данной работе автор предлагает способы статистического моделирования таких показателей формирования рейтинга: - оценки текущих контрольных работ, - оценки РГР, - оценки теоретического коллоквиума, - активность студента при изучении учебного курса, - показатель посещаемости занятий. Помимо этого, в работе предлагается статистический способ выбора функции рейтинга, позволяющий определить наиболее эффективную функцию. Данный способ основан на использовании математической модели Раша [1, 2]. Моделирование оценок теоретического коллоквиума и за выполнение КР Имитационное моделирование в представленной работе основано на использовании математической теории тестирования известного датского математика Г. Раша [1, 2]. Вкратце изложим основные положения этой теории, которые использовались в этой статье. Естественно полагать, что успех участника тестирования в решении определенного тестового задания зависит, в основном, от двух факторов - трудности задания и подготовленности испытуемого. Таким образом, вероятность того, что определенный участник тестирования с уровнем подготовленности s верно решит определенное задание с уровнем трудности t, представляет некоторую функцию p=p(s,t), которая называется функцией успеха. Для этой функции была выведена формула , где s Î (0, ¥), t Î (0, ¥). Переменные s и t принято называть латентными (ненаблюдаемыми, т.е. недоступными для непосредственного измерения) параметрами, поскольку они призваны описывать некоторые скрытые характеристики участников тестирования и тестовых заданий. На практике аргументы s и t удобно выражать в логарифмическом масштабе. Для этого вводятся переменные θ и δ по формулам: Θ = ln(s) Î (-¥, ¥), δ = ln(t) Î (-¥, ¥). При этом функция успеха принимает следующий вид: (1) Эта формула называется основной логистической моделью Раша, в которой аргументы θ и δ измеряются одной и той же шкалой с единицей измерения один логит. Исходя из практической целесообразности, вероятность наступления некоторого события вычисляется с точностью до 3 знаков после запятой. Поэтому вероятность, равную 0,9999, можно принять за вероятность достоверного события. Решая уравнение относительно величины (θ - δ), получим, что θ - δ = 9,21. Задача будет решена достоверно, если учащийся имеет максимально возможный уровень подготовленности θ = θmax, а задание - минимально возможный уровень трудности δ = δmin. Учитывая, что измерение уровней подготовленности и уровней трудности осуществляется на одной симметричной шкале логитов (δmin = -θmax), приходим к равенству: 2θmax= 9,21. Отсюда получаем θmax= 4,6, что позволяет считать, что значения латентных параметров реально меняются в пределах от -4,6 до 4,6. В вышеупомянутой работе [2] этот интервал расширен до интервала (-5; 5). Поэтому связь между шкалой логитов и 100% шкалой может быть осуществлена по формуле , (2) где θ - уровень подготовленности по шкале логитов, B - уровень подготовленности по 100% шкале, θmax= 5. Для имитационного моделирования оценки за выполнение текущей КР предлагается следующий алгоритм, основанный на критерии, изложенном в работе [6]. Предварительно выдвинем гипотезу о законах распределения случайных величин θ и δ: θ ≈ N(0, 1), δ ≈ N(0, 1). Алгоритм: 1. Реализации случайных величин θ и δ. Если случайная величина θ распределена по нормальному закону N(0, 1), то ее функция распределения F(x)=F0(x), где F0(x) - функция распределения нормированного нормального распределения, тогда случайная величина R = F(θ) распределена равномерно на интервале (0, 1) [3]. Решая уравнение R = F0(θ) относительно неизвестного θ, получим: θ = F0-1(R), где F0-1(R) - обратная функция к функции F0(t). Последняя формула позволяет находить реализации случайной величины θ при помощи датчика случайных чисел R на (0, 1): 1.1. R = R(0, 1) - реализация датчика случайных чисел на интервале (0, 1). 1.2. θ = F0-1(R) - решение уравнения R = F0(θ). Аналогично находится реализация случайной величины δj - уровней трудности заданий КР (для удобства индекс j опускается): 1.3. R = R(0, 1) - реализация датчика случайных чисел на интервале (0.1). 1.4. δ = F0-1(R) - решение уравнения R = F0(δ). 2. Вероятности решения задач КР. Вероятности решения p каждой задачи рассчитываются по формуле (1) . 3. Моделирование количества баллов B за решение каждой задачи КР. Согласно критерию А.И. Саблина [6] предлагается следующий способ оценивания одной задачи КР: Качественная оценка Количественная оценка Задача решена 5 Задача решена с недочетом 4 Задача решена наполовину 2 Есть элемент решения 1 Решение неверно 0 Решение отсутствует 0 Поэтому 3.1. R = R(0, 1), R1 = R(0, 1) - реализации датчика случайных чисел на интервале (0.1), (3) . 4. Получение итоговой оценки за выполнение КР. Итоговая оценка K получается путем сложения всех баллов B, набранных учащимся в результате решения всех задач КР: , (4) где m - количество задач в КР, Bj - число баллов, полученных учащимся за решение j-й задачи КР. Замечание. Имея итоговую оценку за выполнение КР, можно получить приближенное значение (оценку) уровня подготовленности учащегося по теме КР. Пусть - максимальная оцен- ка за выполнение КР. Тогда оценкой уровня подготовленности можно считать величину Положительная разность «говорит» о росте показателя активности студента (см. выше) за период изучения материала КР. Отрицательная разность Δθ «говорит» о снижении показателя посещаемости студента (см. выше) за тот же период. Это замечание можно использовать для моделирования таких показателей, как показатель активности и показатель посещаемости (см. ниже). При выставлении оценки за теоретический коллоквиум нужно учитывать то, что теоретические упражнения современным (неподготовленным) студентом выполняются с большими усилиями, нежели практические задачи, в которых учащийся, очень часто не понимая сути, выполняет определенный заученный алгоритм. Теоретический материал по математике в вузе, как правило, не поддается «зазубриванию», поэтому для ответа на теоретический вопрос коллоквиума учащемуся необходимо показывать свое четкое понимание математических определений, теорем, методов, что не всегда удается. В силу вышесказанного при моделировании оценки за теоретический коллоквиум можно использовать изложенный выше алгоритм с той лишь разницей, что для задач положить более высокий уровень трудности. Например, пункты 1.3 и 1.4 заменить следующими: 1.3. R = R(0, 1) - реализация датчика случайных чисел на интервале (0.1). 1.4. δ = F0-1(R)+ δср - реализация нормальной случайной величины δ = N(δср, 1), где δср принимает значения из интервала (0, 2) в зависимости от сложности коллоквиума. Моделирование оценки за выполнение РГР Под расчетно-графической работой (РГР) понимается самостоятельная работа, предназначенная для выполнения вне аудитории. При этом студент может пользоваться различной помощью: информацией, заложенной в учебной литературе, подсказками специалистов среди студентов и преподавателей, частными уроками по тематике РГР и т.д. Конечно, каждый студент стремится максимально воспользоваться этими видами помощи, пытается довести свой уровень подготовленности по тематике РГР до 100%. Поэтому можно считать, что распределение уровня подготовленности студента с исходным уровнем (перед получением РГР) θ% по тематике РГР можно выразить рис. 1. Такое распределение можно задать, как увидел автор, двумя способами. Способ 1 (при помощи показательного распределения). Известно, что показательный закон для случайной величины Y задается следующей плотностью распределения: которая выражается графиком на рис. 2. Учитывая, что основная масса значений показательного распределения Y сосредоточена правее нуля числовой оси, можно ожидать, что случайная величина X=100 -Y будет иметь распределение, аналогичное изображенному на рис. 1. Для того чтобы найти параметр λ для распределения Y, необходимо положить P(Y < 100 - θ %)=0,9973. (5) Выполнение этого равенства необходимо для того, чтобы практически все значения случайной величины X были бы больше 0 (противное противоречило бы рис. 1). Значение 0,9973 взято из правила 3 сигм, которое соответствует 99,73% всех реализаций случайной величины R, для которых выполняется неравенство Y < 100 - θ %. Из равенства (5) следует, что 1-e-λ(100 - θ)=0,9973. Отсюда имеем (6) при этом математическое ожидание В силу вышесказанного можно определить алгоритм моделирования оценки за выполнение РГР для учащегося с исходным уровнем подготовленности θ%. 1. Моделирование активности учащегося при выполнении РГР. 1.1. R = R(0, 1) - очередная реализация датчика случайных чисел на интервале (0.1), 1.2. где λ вычисляется по формуле (6) - реализация показательно распределенной случайной величины. 1.3. Изменяем уровень подготовленности X учащегося в соответствии с уровнем активности Y: , . 2. Моделирование оценки за выполнение РГР. 2.1. Моделирование реализаций уровней трудности заданий РГР по схеме: R = R(0, 1) - реализация датчика случайных чисел на интервале (0, 1). δ = F0-1(R) - решение уравнения R = F0(δ). 2.2. Моделирование вероятностей решения каждой задачи РГР по формуле (1), используя найденный в 1 уровень подготовленности X учащегося и найденные в 2.1 уровни трудности заданий РГР. 2.3. Моделирование количества баллов B за решение каждой задачи РГР по формуле (3). 2.4 Получение итоговой оценки за выполнение РГР. Итоговая оценка K получается путем сложения всех баллов B, набранных учащимся в результате решения всех задач РГР: где m - количество задач в РГР; Bj - число баллов, полученных учащимся за решение j-й задачи РГР. Способ 2 (при помощи нормального распределения). Известно, что нормальный закон для случайной величины N ≈ N(0, σ) задается следующей плотностью распределения: которая выражается графиком (рис. 3). Учитывая, что основная масса значений нормального распределения N сосредоточена в интервале (-3σ; 3σ), причем около нуля, то можно ожидать, что случайная величина X=100 - | N | будет иметь распределение, аналогичное изображенному на рис. 1. Для того чтобы найти параметр σ, достаточно вспомнить правило 3 сигм: практически достоверно (с вероятностью 0,9973) все значения нормальной случайной величины N ≈ N(0, σ) находятся в интервале (-3σ; 3σ). Из этого закона следует, что практически (с вероятностью 0,9973) все значения случайной величины X будут находиться в интервале (θ, 100), если При этом можно вычислить М(| N |). Пусть Z=| N |. Тогда FZ(x)=P(Z

Скачать электронную версию публикации